[行列解析4.4.P37]

4.4.問題37

4.4.P37

0 でない \(\lambda \in \mathbb{C}\) と整数 \(m \ge 2\) が与えられたとする。

ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に相似な複素対称行列 \(B \in M_n\) が与えられ、\(A = B \oplus B^{-1}\) とする。

(a) なぜ \(A^{-1} \sim A^T\) が逆行列 \(K_{2m} = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix}\) によって成り立つか説明せよ。

(b) 前問を用いて、なぜ \(A\) が複素直交行列に相似か説明せよ。

(c) ジョルダン標準形が \(J_2(2) \oplus J_2(1/2)\) である複素直交行列 \(Q \in M_4\) が存在する理由を説明せよ。特に (4.4.P35) と異なり、\(Q\) は対角化可能でない。複素直交行列のジョルダン標準形は次の5種類の直和ブロックのみからなることが知られている：\(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda^{-1}), 0 \neq \lambda \neq \pm 1\); \(J_k(1) \oplus J_k(1), k\) 偶数; \(J_k(-1) \oplus J_k(-1), k\) 偶数; \(J_k(1), k\) 奇数; \(J_k(-1), k\) 奇数。