4.4.問題33
4.4.P33
\(A \in M_n\) が二つの斜対称行列の積であるのは、かつその場合に限り、\(A\) のジョルダン標準形の非特異部分が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアのみで構成され、固有値 0 に関連するセグレ特性 (3.1.19) が \(s_{2k-1}(A,0) - s_{2k}(A,0) \le 1\) を満たす場合であることが知られている。
(a) この主張の半分の特別な場合を証明せよ:\(A \in M_n\) が非特異かつジョルダン標準形が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアのみで構成される場合、\(n\) は偶数であり、\(A\) は次のブロック行列に相似である
\begin{align} \begin{pmatrix} F & 0 \\ 0 & F \end{pmatrix} & \sim \begin{pmatrix} F & 0 \\ 0 & F^T \end{pmatrix} \notag \\ & = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -F^T \\ F & 0 \end{pmatrix} \notag \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -F \\ F^T & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \notag \end{align}
(b) 固有値 0 に関連するウェイヤ特性 \(w_p(A,0), p=1,2,\dots\) を考える。
もし \(w_p(A,0)\) が奇数であれば、すべての \(p \ge 2\) に対して \(w_{p-1}(A,0) > w_p(A,0)\) が成り立つ場合に限り、\(s_{2k-1}(A,0) - s_{2k}(A,0) \le 1\) が成り立つことを示せ。
すなわち、ジョルダン標準形において、サイズ \(p-1\) の零冪ブロックが少なくとも 1 つ含まれる。
行列解析の総本山

[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
コメント