[行列解析4.4.P27]

4.4.問題27

4.4.P27

\(A = [a_{ij}] \in M_n\) を対称行列とし、\(A = U \Sigma U^T\) と表す。

ただし、

\(U = [u_{ij}]\) はユニタリ行列、

\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n)\) は非負対角行列であり、

\(\sigma_1 \ge \dots \ge \sigma_n \ge 0\) である。

(a) なぜ

\(\mathrm{diag}\,A = S \mathrm{diag}\,\Sigma = \sum_{j=1}^n \sigma_j s_j\) であり、

複素行列 \(S = [u_{ij}^2] = [s_1 \dots s_n] \in M_n\) の各行・列の絶対値和が 1 であるか説明せよ。(4.3.P10 と比較せよ)。

(b) 実数 \(\theta_1, \dots, \theta_n\) を選び、

\(e^{-i\theta_j} u_{j1}^2 = |u_{j1}^2|\) として

\(z = [e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}]^T\) とする。

なぜ

\(\sigma_1 = \sigma_1 z^* s_1 \)
\(= z^* \mathrm{diag}\,A - \sigma_2 z^* s_2 - \dots - \sigma_n z^* s_n \)
\(\le |a_{11}| + \dots + |a_{nn}| + \sigma_2 + \dots + \sigma_n\)

が成り立つか説明せよ。

(c) \(A\) の主対角成分がすべて 0 の場合、なぜ特異値は

\(\sigma_1 \le \sigma_2 + \dots + \sigma_n\)

の不等式を満たすか説明せよ。

行列解析の総本山

[行列解析]総本山

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。