4.4.5
命題 4.4.5.
\( A \in M_2 \) とし、\( \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq 0 \) を \( S(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^T) \) の特異値とする。もし \( \sigma_1 = \sigma_2 \) なら、\( \sigma = \sigma_1 \) とする。
(a) \( A \) は次の形にユニタリ合同である：
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & \zeta \\
-\zeta & \sigma_2
\end{bmatrix}, \quad \zeta \in \mathbb{C}
(b) \( A\overline{A} \) が非実の共役な固有値対を持つのは、次の場合に限る：
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & \zeta \\
-\zeta & \sigma_2
\end{bmatrix}, \quad \zeta \in \mathbb{C}, \quad 2|\sigma_1 \overline{\zeta} + \sigma_2 \zeta| \gt \sigma_1^2 - \sigma_2^2
もし \( \sigma_1 = \sigma_2 \) なら、(4.4.7) の条件は \(\sigma \gt 0\) かつ \(\Re \zeta \neq 0\) であることと同値である。
(c) \( A\overline{A} \) が実の負の固有値を2つ持つのは、\( \sigma_1 = \sigma_2 \) かつ \( A \) が次の形にユニタリ合同であるとき、かつそのときに限る：
\begin{bmatrix}
\sigma & i\xi \\
-i\xi & \sigma
\end{bmatrix},
\quad \xi \in \mathbb{R}, \ \xi \gt \sigma \geq 0
この場合、\( \sigma^2 - \xi^2 \) は \( A\overline{A} \) の重複した負の固有値となる。もし (4.4.8a) において \(\sigma = 0\) なら、\( A \) は次の形にユニタリ合同である：
\begin{bmatrix}
0 & \xi \\
-\xi & 0
\end{bmatrix}, \quad \xi \in \mathbb{R}, \ \xi \gt 0
この場合、\(-\xi^2\) は \( A\overline{A} \) の重複した負の固有値であり、\(\xi\) は \( A \) の重複した特異値である。
(d) \( A\overline{A} \) の固有値を \(\lambda_1, \lambda_2\) とする。もし \(\lambda_1\) が非実なら \(\lambda_2 = \overline{\lambda_1}\) である。もし \(\lambda_1\) が実で非負なら、\(\lambda_2\) も同様に実で非負である。もし \(\lambda_1\) が実で負なら、\(\lambda_2 = \lambda_1\) である。
証明.
(a) \( A = S(A) + C(A) \) と分解する。先の系により、ユニタリ行列 \( U \in M_2 \) が存在して
S(A) = U
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & 0 \\
0 & \sigma_2
\end{bmatrix}
U^T
となる。したがって
A = U \left(
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & 0 \\
0 & \sigma_2
\end{bmatrix}
+ U^* C(A) \overline{U}
\right) U^T
ここで \( U^* C(A) \overline{U} \) は歪対称行列なので、ある \(\zeta \in \mathbb{C}\) に対して次の形を持つ：
\begin{bmatrix}
0 & \zeta \\
-\zeta & 0
\end{bmatrix}
(b) 行列 \( A\overline{A} \) のトレースや行列式を計算したい場合、前の練習問題により \( A \) が (4.4.6) の形をしていると仮定できる。この場合、計算により次が得られる：
\operatorname{tr}(A \overline{A}) = \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - 2|\zeta|^{2}
|\det A|^{2} = \sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2\sigma_{1}\sigma_{2}\operatorname{Re}(\zeta^{2}) + |\zeta|^{4}
また、特性多項式 \( p_{A\overline{A}}(t) \) の判別式は
r(A) = (\operatorname{tr}(A \overline{A}))^{2} - 4|\det A|^{2}
= (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2})^{2} - 4|\sigma_{1}\overline{\zeta} + \sigma_{2}\zeta|^{2}
となる。したがって、\( A\overline{A} \) が非実数の共役な固有値対を持つのは、\( r(A) \lt 0 \)、すなわち
2|\sigma_{1}\overline{\zeta} + \sigma_{2}\zeta| \gt \sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2}
が成り立つ場合に限られる。
(c) 次に、\( A\overline{A} \) が 2 つの実数の負の固有値を持つと仮定する。このとき \( r(A) \geq 0 \) かつ \(\operatorname{tr}(A\overline{A}) \lt 0\) であり、すなわち
2|\zeta|^{2} \gt \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}
が成り立つ。ここで \(\zeta = |\zeta| e^{i\theta}, \ \theta \in \mathbb{R}\) とおくと、次を得る：
0 \leq r(A)
= (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2})^{2} - 4|\sigma_{1}\overline{\zeta} + \sigma_{2}\zeta|^{2}
= (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2})^{2} - 4|\zeta|^{2}|\sigma_{1}e^{-i\theta} + \sigma_{2}e^{i\theta}|^{2}
= (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2})^{2} - 4|\zeta|^{2}(\sigma_{1}^{2} + 2\sigma_{1}\sigma_{2}\cos 2\theta + \sigma_{2}^{2})
\leq (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{2}^{2})^{2} - 2(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})(\sigma_{1} - \sigma_{2})^{2}
= -(\sigma_{1} - \sigma_{2})^{4}
これより \(\sigma_{1} = \sigma_{2}\) が従う。このとき
r(A) = -4\sigma^{2}|\overline{\zeta} + \zeta|^{2} = -8\sigma^{2}|\operatorname{Re}\zeta| \geq 0
が成り立つので、\(\operatorname{Re}\zeta = 0\) または \(\sigma = 0\) である。もし \(\operatorname{Re}\zeta = 0\) ならば、\(\zeta = i\xi\) （ただし \(\xi \in \mathbb{R}, \ \xi \neq 0\)）と書ける。このとき
\operatorname{tr}(A\overline{A}) = \sigma^{2} + \sigma^{2} - 2|\zeta|^{2} = 2(\sigma^{2} - \xi^{2}) \lt 0
であるから、\(|\xi| \gt \sigma\) が従う。この場合、\(\xi \gt 0\) なら \( A \) は (4.4.8a) の形をとり、\(\xi \lt 0\) なら (4.4.8a) の転置の形をとる。後者の場合は、反転行列
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
によるユニタリ合同変換を行うことで (4.4.8a) の形に帰着できる。もし \(\sigma = 0\) なら、\( S(A) = 0 \) なので \( A = C(A) \) となり、ある非零 \(\zeta \in \mathbb{C}\) に対して次の形を持つ：
\begin{bmatrix}
0 & \zeta \\
-\zeta & 0
\end{bmatrix}
さらに、\(\zeta = |\zeta| e^{i\theta}, \ \theta \in \mathbb{R}\) とおくと、ユニタリ合同変換
(e^{-i\theta/2} I) A (e^{-i\theta/2} I) =
\begin{bmatrix}
0 & |\zeta| \\
-|\zeta| & 0
\end{bmatrix}
を得る。これは (4.4.8b) の形である。二重の負の固有値に関する主張については、次の練習問題を参照せよ。
(d) \( A\overline{A} \) は実行列に相似であるため、固有値が非実なら必ず共役な対となる。したがって \(\lambda_2 = \overline{\lambda_1}\)。もし \(\lambda_1\) が実非負なら (4.4.4b) より \(\lambda_2\) も実非負。もし \(\lambda_1\) が実負なら、\(\lambda_2\) も実負であり、さらに (c) より \(\lambda_1 = \lambda_2\) である。
練習問題.
(i) \( A \) が (4.4.8a) の形にユニタリ合同であるとき、\(\sigma^2 - \xi^2\) が \( A\overline{A} \) の重複負固有値であることを示せ。
(ii) \( A \) が (4.4.8b) の形にユニタリ合同であるとき、\(-\xi^2\) が \( A\overline{A} \) の重複負固有値であり、\(\xi\) が \( A \) の重複特異値であることを示せ。
練習問題.
\( A \in M_2 \) のとき、\( A \) は (4.4.6) の形にユニタリ合同である。対称部分 \( S(A) \) がユニタリ行列のスカラー倍であるのは、\(\sigma_1 = \sigma_2\) であることと同値であることを説明せよ。
以上により、任意の正方複素行列 \( A \) が、ユニタリ合同によってブロック上三角行列に変形でき、各対角ブロックは 1×1 または 2×2 の特別な形を持つことを示す準備が整った。
行列解析の総本山
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