[行列解析4.4.4]系

4.4.4

系 4.4.4.

\( A \in M\_n \) とする。

(a) もしユニタリ行列 \( U \in M\_n \) が存在して \( A = UDU^T \) となり、\( D \) が上三角行列であるならば、\( A\bar{A} \) の固有値はすべて非負である。

(b) もし \( A\bar{A} \) が少なくとも \( n-1 \) 個の実の非負固有値をもつならば、ユニタリ行列 \( U \in M\_n \) が存在して \( A = UDU^T \) となる。このとき \( D = [d\_{ij}] \) は上三角行列であり、各対角成分 \( d\_{ii} \geq 0 \)、さらに \( d\_{11}^2, \dots, d\_{nn}^2 \) が \( A\bar{A} \) の固有値となる。これらはすべて実数かつ非負である。

(c) （オートンの定理）もし \( A \) が対称行列であるならば、ユニタリ行列 \( U \in M\_n \) が存在して \( A = U\Sigma U^T \) となる。ここで \(\Sigma\) は非負の対角行列で、その対角成分は \( A \) の特異値であり、任意の順序に並べることができる。

(d) （一意性）\( A \) が対称行列であり \(\operatorname{rank} A = r\) とする。\( A \) の正の特異値を \( s\_1, \dots, s\_d \) （任意の順序）とし、それぞれの重複度を \( n\_1, \dots, n\_d \) とする。次に

\Sigma = s\_1 I\_{n\_1} \oplus \cdots \oplus s\_d I\_{n\_d} \oplus 0\_{n-r}

とおく。ただし \( A \) が正則ならゼロブロックは存在しない。\( U, V \in M\_n \) がユニタリ行列とすると、\( A = U\Sigma U^T = V\Sigma V^T \) が成り立つのは、\( V = UZ \) かつ

Z = Q\_1 \oplus \cdots \oplus Q\_d \oplus \tilde{Z}, \quad \tilde{Z} \in M\_{n-r}

がユニタリであり、各 \( Q\_j \in M\_{n\_j} \) が実直交行列のとき、かつそのときに限る。さらに、もし \( A \) の特異値がすべて異なるなら（すなわち \( d \geq n-1 \)）、

V = UD, \quad D = \mathrm{diag}(d\_1, \dots, d\_n)

となり、各 \( d\_i = \pm 1 \) （\( i = 1, \dots, n-1 \)）であり、\( A \) が正則なら \( d\_n = \pm 1 \)、非正則なら \( d\_n \in \mathbb{C} \) かつ \(|d\_n| = 1\) である。

証明.

(a) \( A = UDU^T \)、\( D \) が上三角ならば、

A\bar{A} = U D U^T \bar{U} \bar{D} U^\*

の固有値は \( D\bar{D} \) の対角成分であり、非負となる。

(b) \( A\bar{A} \) が少なくとも \( n-1 \) 個の実の非負固有値を持つなら、定理 4.4.3 の \( p \geq n-1 \) の場合より、\( A \) はユニタリ合同により上三角行列に変形できる。(a) より固有値は非負であり、\( p=n \) として再び定理 4.4.3 を用いれば因数分解が得られる。

(c) \( A \) が対称なら、\( A\bar{A} = AA^\* \) の固有値は \( A \) の特異値の平方である。したがって (a) より \( A = UDU^T \)、\( D = [d\_{ij}] \) が上三角であり、\( d\_{11}, \dots, d\_{nn} \) が特異値となる。さらに \( A \) が対称なので \( D \) も対称であり、よって対角行列となる。置換行列 \( P \) を用いれば \( A = (UP)(P^TP)(UP)^T \) となり、特異値は任意の順序に並べ替え可能である。

(d) 2つの分解 \( A = U\Sigma \bar{U}^\* = V\Sigma \bar{V}^\* \) は特異値分解であるから、(2.6.5) より \( U = VX \)、\( \bar{U} = V\bar{Y} \) が成り立ち、\( X = Z\_1 \oplus \cdots \oplus Z\_d \oplus \tilde{Z} \)、\( Y = Z\_1 \oplus \cdots \oplus Z\_d \oplus \tilde{Y} \) がユニタリであり各 \( Z\_j \in M\_{n\_j} \)。このとき \( X = V^\*U = V^T \bar{U} = \bar{Y} \) なので、各 \( Z\_j = \bar{Z}\_j \) であり、実ユニタリ、すなわち実直交である。特異値がすべて異なる場合の結論もこの特別な場合から従う。

定理 4.4.3 は、\( A\bar{A} \) が実の非負固有値を持たない場合に、ユニタリ合同でどのような形に簡約できるかを考察する動機を与える。系 3.4.1.9 より、\( A\bar{A} \) は常に実行列に相似であるため、\(\mathrm{tr}(A\bar{A})\) は常に実数であり、非実固有値は共役な対として現れる。

例えば \( A \in M\_2 \) とし、もし \( A\bar{A} \) の固有値がいずれも実非負でないなら、相似によって \( A\bar{A} \) が実行列となるため可能性は2つしかない。固有値は非実の共役対か、または両方とも実負である。後者の場合、次の命題は驚くべきことを主張する：それらは等しい。

このとき \( A\bar{A} \) の特性多項式は

p\_{A\bar{A}}(t) = t^2 - (\mathrm{tr}(A\bar{A}))t + \det(A\bar{A}) = t^2 - (\mathrm{tr}(A\bar{A}))t + |\det A|^2

であり、判別式が非負のとき、かつそのときに限り実数解をもつ。すなわち

(\mathrm{tr}(A\bar{A}))^2 - 4|\det A|^2 \geq 0

が成り立つときである。もし \( A\bar{A} \) が2つの負の固有値をもてば、それらの和である \(\mathrm{tr}(A\bar{A})\) は負となる。

練習問題.

\( A \in M\_n \) が歪対称ならば、\( A\bar{A} \) の固有値はすべて実数かつ非正であることを説明せよ。ヒント: \( A\bar{A} = -AA^\* \)。

練習問題.

\( A \in M\_n \) とする。このとき \( f(A) = \mathrm{tr}(A\bar{A}) \)、\( g(A) = \det(A\bar{A}) = |\det A|^2 \) がユニタリ合同不変関数であることを示せ。すなわち、任意のユニタリ \( U \in M\_n \) に対して \( f(UAU^T) = f(A) \)、\( g(UAU^T) = g(A) \) が成り立つ。特に \( n=2 \) の場合、\( A\bar{A} \) の特性多項式の判別式がユニタリ合同不変関数となるのはなぜかを説明せよ。