[行列解析4.4.16]定理

4.4.16

定理 4.4.16.

\( A \in M_n \) が共役正規であるのは、それが次の形の直和にユニタリ合同である場合に限る：

\Phi \;\oplus\; \tau_1 \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{bmatrix} \;\oplus \cdots \oplus\; \tau_q \begin{bmatrix} a_q & b_q \\ -b_q & a_q \end{bmatrix}

ここで \(2q \leq n\)、\(\Phi \in M_{n-2q}\) は非負の対角行列であり、\(a_j, b_j, \tau_j\) は実数で、各 \(j=1,\ldots,q\) に対して \(a_j \geq 0\)、\(0 \lt b_j \leq 1\)、\(a_j^2+b_j^2=1\)、\(\tau_j \gt 0\) が成り立つ。

(4.4.17) におけるパラメータは \(AA\overline{A}\) の固有値によって一意に決まる。すなわち、\(\Phi^2\) の対角成分は \(A\overline{A}\) の非負の実固有値である。さらに、実非負でない固有値が \(r_j e^{\pm 2i\theta_j}, j=1,\ldots,m\)、ただし \(r_j \gt 0, 0 \lt \theta_j \leq \pi/2\) の形で表されるとき、\(\tau_j = \sqrt{r_j} \gt 0\)、\(a_j = \cos \theta_j\)、\(b_j = \sin \theta_j\) となる。

証明.

\( A \) が共役正規であるとし、(4.4.10) と同様に因数分解する。共役正規性がユニタリ合同に関して不変であることから、

\begin{bmatrix} 0 & \Sigma \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

は共役正規である。そして (4.4.15) より、それはブロック対角行列であり、\(\Phi\) は対角行列、\(\Sigma = \Sigma_{11} \oplus \cdots \oplus \Sigma_{qq}\) は 2×2 ブロック対角であり、各 \(\Sigma_{jj}\) は共役正規である。したがって \(\Phi = D\) となり、\(\Sigma_{jj}\) は (4.4.9) で記述されたブロック型の特殊形である。

もしブロック \(\Sigma_{jj}\) が (4.4.11a) の形を持ち共役正規であるなら、計算により \(\sigma_1 \overline{\zeta} = \sigma_2 \zeta\) が得られる。これは \(\sigma_1|\zeta| = \sigma_2|\zeta|\) を意味する。パラメータの条件により \(\sigma_1 \gt 0\)、\(\zeta \neq 0\) が必要なので、結局 \(\sigma_1 = \sigma_2 \gt 0\) かつ \(\zeta = \overline{\zeta}\) が成り立ち、\(\zeta\) は実数となる。したがって \(\Sigma_{jj}\) は (4.4.11b) の形を持ち、実かつ正のブロック、すなわち

\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{bmatrix}, \quad \alpha, \beta \gt 0

の形を持つ。ここで \(\tau = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}\)、\(a = \alpha/\tau\)、\(b = \beta/\tau\) とおく。このとき、(4.4.11a) の形を持つ共役正規ブロックは、ユニタリ合同により

\tau \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}, \quad \tau \gt 0, \; a \gt 0, \; 0 \lt b \lt 1, \; a^2+b^2=1

の形に変換される。

一方、(4.4.12a) の形のブロックはいかなる場合も共役正規とはならない（\(2i\sigma \xi \neq 0\) である）。しかし、(4.4.12b) の形のブロックは実正規であり、したがって共役正規である。ここで \(\tau = \xi\) とすると、次の形のブロックが得られる：

\tau \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \tau \gt 0

これまでに、定理の主張する形の因数分解が構成された。(4.4.17) の各直和成分は共役正規であり、その直和やユニタリ合同も共役正規である。

ブロック対角行列 (4.4.17) は実行列であるため、その二乗は \(A\overline{A}\) と同じ固有値を持つ。(4.4.17) の各 2×2 ブロックは、実直交行列の正のスカラー倍であり、固有値は次の形になる：

\tau_j (a_j \pm i b_j) = \tau_j e^{\pm i \theta_j} = \tau_j (\cos \theta_j \pm i \sin \theta_j), \quad \theta_j \in (0,\pi/2]

ここで \(a_j \geq 0, b_j \gt 0\) であるため、\(\theta_j \in (0,\pi/2]\) が成り立つ。これらのブロックの二乗の固有値は \(\tau_j^2 e^{\pm 2i\theta_j}, \theta_j \in (0,\pi/2]\) となる。したがって、\(A\overline{A}\) の固有値は実かつ非負のもの（その平方根が (4.4.17) の \(\Phi\) を決定する）か、あるいは \(\tau_j^2 e^{\pm 2i\theta_j}, \tau_j \gt 0, \theta_j \in (0,\pi/2]\) の形のペアであり、これが (4.4.17) の 2×2 ブロックのパラメータを決定する。∎