4.4.15
補題 4.4.15. \( A \in M_n \) が次のように分割されているとする：
A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}
ただし \( A_{11} \)、\( A_{22} \) は正方行列とする。このとき、\( A \) が共役正規であることと、\( A_{11} \) および \( A_{22} \) が共役正規であり、さらに \( A_{12} = 0 \) であることは同値である。すなわち、ブロック上三角行列が共役正規であるのは、その非対角ブロックがすべてゼロであり、かつ各対角ブロックが共役正規である場合に限られる。特に、上三角行列が共役正規であるのは、それが対角行列である場合に限られる。
証明. (2.5.2) の証明と同様に、恒等式 \( A^{*}A = AA^{*} \) の (1,1) ブロックを比較する：
A_{11}^{*}A_{11} = A_{11}A_{11}^{*} + A_{12}A_{12}^{*}
しかし、エルミート行列のトレースは実数であるため、
\mathrm{tr}(A_{11}^{*}A_{11}) = \mathrm{tr}(A_{11}A_{11}^{*})
が成り立つ。したがって \( A_{12}A_{12}^{*} = 0 \) となり、結論を得る。残りの証明は (2.5.2) の場合と同様である。∎
練習問題. \( A \in M_n \)、\( U \in M_n \) がユニタリ行列であるとする。このとき、\( A \) が共役正規であることと \( UAU^{T} \) が共役正規であることは同値である、すなわち共役正規性はユニタリ合同に関して不変であることを示せ。
練習問題. \( A \in M_n \) が共役正規であり、\( c \in \mathbb{C} \) とするとき、\( cA \) も共役正規であることを示せ。
練習問題. \( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) とするとき、\( A \) と \( B \) が共役正規であることと、\( A \oplus B \) が共役正規であることは同値であることを示せ。
練習問題. \( A = [a] \in M_1 \) または
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R})
のとき、\( A \) が共役正規であることを示せ。
次に示す共役正規行列の標準形は、正規行列に対するスペクトル定理の類似であり、実正規行列に対する標準形 (2.5.8) と多くの共通点を持つ。
行列解析の総本山
コメント