[行列解析4.4]注記

4.4.注記

参考文献および追加読書。

任意の正方複素行列に対してユニタリ合同で達成できるブロック上三角形形式については、D. C. Youla, "A normal form for a matrix under the unitary congruence group", Canad. J. Math. 13 (1961) 694–704 を参照せよ。Youla の 2×2 の対角ブロックは (4.4.9) のものとは異なるが、もちろんユニタリ合同である。

ユニタリ合同、共役正規行列、合同正規行列、および (4.4.P41) の標準形の証明については、R. A. Horn および V. V. Sergeichuk, "Canonical forms for unitary congruence and ∗congruence", Linear Multilinear Algebra 57 (2009) 777–815 を参照せよ。正規行列と共役正規行列の類似性、および共役正規性の 45 条件については、H. Faßbender および Kh. Ikramov, "Conjugate-normal matrices: A survey", Linear Algebra Appl. 429 (2008) 1425–1441 を参照せよ。

Leon Autonne (1915) は複素対称行列の標準形 (4.4.4c)（Autonne–Takagi 分解）を発見したと考えられる（2.6 の「Notes and Further Readings」を参照）。その後、Takagi (1925)、Jacobson (1939)、Siegel (1943; 4.4.P3 を参照)、Hua (1944)、Schur (1945; 4.4.P2 を参照)、Benedetti と Cragnolini (1984) などによる独立再発見と異なる証明が多く行われた。

複素正方行列に対する複素直交相似の標準形については、N. H. Scott, "A new canonical form for complex symmetric matrices", Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 440 (1993) 431–442 を参照せよ。この標準形は (4.4.P24) および (4.4.P25) の情報を利用している。

四元数型行列のジョルダン標準形に関する (4.4.P29(g)) の主張の証明については、F. Zhang および Y. Wei, "Jordan canonical form of a partitioned complex matrix and its application to real quaternion matrices", Comm. Algebra 29 (2001) 2363–2375 を参照せよ。

(4.4.P31 から P33) で扱った行列積の特徴付けは、1922 年（H. Stenzel）にはすでに知られていた。現代的な証明は、L. Rodman, "Products of symmetric and skew-symmetric matrices", Linear Multilinear Algebra 43 (1997) 19–34 を参照せよ。

(4.4.P33(b)) で主張された同値性は Ross Lippert によるものである。ジョルダン標準形に関する (4.4.P34) および (4.4.P38) の主張は、Gantmacher (1959) 第 XI 章、および R. A. Horn と D. I. Merino, "The Jordan canonical forms of complex orthogonal and skew-symmetric matrices", Linear Algebra Appl. 302–303 (1999) 411–421 にて証明されている。

QS 分解に関する詳細については、Horn and Johnson (1991) の定理 6.4.16 を参照せよ。ランク条件の証明は I. Kaplansky, "Algebraic polar decomposition", SIAM J. Matrix Analysis Appl. 11 (1990) 213–217 にある。また、R. A. Horn と D. I. Merino, "Contragredient equivalence: A canonical form and some applications", Linear Algebra Appl. 214 (1995) 43–92 の定理 13 も参照され、ここでは追加の同値条件 A = P A^T Q または A = Q A^T Q（P, Q は複素直交行列）が示されている。

(4.4.P41) の標準形の導出については、R. A. Horn および V. V. Sergeichuk, "Canonical forms for unitary congruence and ∗congruence", Linear Multilinear Algebra 57 (2009) 777–815 の定理 7.1 を参照せよ。

(4.4.P46) で言及されたユニタリ合同の必要十分条件は、R. A. Horn および Y. P. Hong, "A characterization of unitary congruence", Linear Multilinear Algebra 25 (1989) 105–119 で証明されている。

ユニタリ合同、同時ユニタリ合同、同時ユニタリ相似、および (2.5.P69) のブロック行列 M_A についての詳細は、T. G. Gerasimova, R. A. Horn, および V. V. Sergeichuk, "Simultaneous unitary equivalences", Linear Algebra Appl. (in press) を参照せよ。

(4.4.P49) の特別な特異値分解は L. Autonne により発見された。証明については、R. A. Horn および D. I. Merino, "A real-coninvolutory analog of the polar decomposition", Linear Algebra Appl. 190 (1993) 209–227 の定理 1.5 を参照せよ。