[行列解析4.1.3]定理

4.1.3

定理 4.1.3.

\(A \in M_n\) がエルミート行列であるとする。このとき：

(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(x^* A x\) は実数である。

(b) \(A\) の固有値はすべて実数である。

証明. 次のように計算する：

(x^* A x)^* = x^* A^* x = x^* A x

したがって、\(x^* A x\) はその複素共役に等しく、よって実数である。(a) より、もし \(A x = \lambda x\) かつ \(x^* x = 1\) なら、

\lambda = \lambda x^* x = x^* (\lambda x) = x^* A x

は (a) により実数である。最後に、

(S^* A S)^* = S^* A^* S = S^* A S

したがって、\(S^* A S\) は常にエルミート行列である。

演習. 前述の定理における \(A \in M_n\) の各性質は、\(n = 1\) の場合にどのような意味を持つか考えよ。

実際、(4.1.3) の各性質はほぼエルミート行列の特徴づけとみなすことができる。