4.1.11定義
定義 4.1.11.
対称行列 \(A \in Mn(\mathbb{R})\) は、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x \ge 0\) であれば正定値（positive definite）、すべての非零ベクトルに対して \(x^T A x \gt 0\) であれば半正定値（positive semidefinite）、そして、ベクトル \(y, z \in \mathbb{R}^n\) が存在して \(y^T A y \lt 0 \lt z^T A z\) となる場合は不定（indefinite）と呼ばれる。
演習. なぜ半正定値行列が非特異（nonsingular）である場合に限り正定値となるのか説明せよ。
エルミート行列に関する最後の一般的な観察は、行列 \(A \in Mn\) がエルミートであることと、行列を \(A = B - C\) の形に書けることは同値であり、ここで \(B, C \in Mn\) は半正定値であるということである。この主張の半分は明らかであり、残りの半分は次の定義に依存する。
コメント