4.1.10定理
定理 4.1.10.
\(A \in M_n(\mathbb{R})\) が対称行列であるとする。このとき、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x > 0\) （それぞれ \(x^T A x \ge 0\)）であることは、行列 \(A\) のすべての固有値が正（それぞれ非負）であることと同値である。
証明.
\(A\) はエルミート（対称）であるため、次を示せば十分である：
\(z = x + iy \in \mathbb{C}^n\)（ここで \(x, y \in \mathbb{R}^n\) かつ少なくとも一方が非零）に対して \(z^* A z > 0\) （それぞれ \(z^* A z \ge 0\)）となること。
なぜなら \((y^T A x)^T = x^T A y\) であり、次が成り立つからである：
z^* A z = (x + iy)^* A (x + iy) = x^T A x + y^T A y + i (x^T A y - y^T A x) = x^T A x + y^T A y
ここで、\(x\) と \(y\) の少なくとも一方が非零であれば、式 \(x^T A x + y^T A y\) は正（それぞれ非負）となる。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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