3.5.5
例 3.5.5.
すべての行列がLU分解を持つとは限らない。たとえば
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
が \( A = LU \) と書けると仮定する：
L =
\begin{bmatrix}
\ell_{11} & 0 \\
\ell_{21} & \ell_{22}
\end{bmatrix},\quad
U =
\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} \\
0 & u_{22}
\end{bmatrix}
このとき \(\ell_{11}u_{11} = 0\) となり、\( L \) または \( U \) のいずれかが特異になる。しかし \( LU = A \) は正則であり矛盾する。
演習.
正則でありながら、特異な順序主小行列をもつ行列がLU分解を持たないことを説明せよ。
演習.
次を確かめよ：
A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
この \( A \) はLU分解を持つが、行包含性も列包含性も満たしていない。しかし \( A \) は次の4×4行列の順序主小行列である：
\hat{A} =
\begin{bmatrix}
A & e_1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & \hat{A}_{12} \\
\hat{A}_{21} & 0
\end{bmatrix},\quad
\hat{A}_{12} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix},\quad
\hat{A}_{21} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
しかし \(\hat{A}\) はLU分解を持たない。これを確かめるには、(3.5.2) のブロック分解で \( k = 2 \) を考えればよい。\(\hat{A}_{12} = L_{11}U_{12}\) から \( L_{11} \) が正則であることが従い、したがって \( 0 = L_{11}U_{11} \) より \( U_{11} = 0 \) となる。しかしこれは \( L_{21}U_{11} = \hat{A}_{21} \neq 0 \) と矛盾する。
演習.
次の行列を考えよ：
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
a & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 2-a
\end{bmatrix}
このとき、たとえ \( L \) を単位下三角行列に限定したとしても、LU分解が一意とは限らないことを説明せよ。
以上から、与えられた行列のLU分解は存在する場合と存在しない場合があり、存在する場合でも一意とは限らないことが明らかである。多くの問題は、\( A \) あるいはその順序主小行列の特異性に由来する。しかし (3.5.2) および (3.5.3) の道具を用いれば、正則な場合については完全な記述が可能であり、さらに分解を一意にするための正規化を課すことができる。
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