3.4.2.4
補題 3.4.2.4. 複素数 \( \lambda \in \mathbb{C} \) と、正の整数 \( n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_k \geq 1 \) が与えられているとする。次のような上三角で同じ分割を持つ行列を考える：
F = [F_{ij}]_{i,j=1}^k \\
= \begin{bmatrix}
\lambda I_{n_1} & F_{12} & \cdots & F_{1k} \\
& \lambda I_{n_2} & \cdots & F_{2k} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & \lambda I_{n_k}
\end{bmatrix} \in M_n
F' = [F'_{ij}]_{i,j=1}^k \\
= \begin{bmatrix}
\lambda I_{n_1} & F'_{12} & \cdots & F'_{1k} \\
& \lambda I_{n_2} & \cdots & F'_{2k} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & \lambda I_{n_k}
\end{bmatrix} \in M_n
ここで、すべての上対角ブロック \( F'_{i,i+1} \) が列フルランクであると仮定する。もし \( A \in M_n \) が \( AF = F'A \) を満たすならば、\( A \) は \( F \) と \( F' \) に適合するブロック上三角行列である。さらに、もし \( A \) が正規行列であれば、\( A \) は \( F \) と \( F' \) に適合するブロック対角行列である。
証明. 行列 \( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \) を \( F \) および \( F' \) に従って分割する。我々の戦略は、恒等式 \( AF = F'A \) の対応するブロックを特定の順序で調べることである。
ブロック位置 \( (k-1,1) \) において、
\lambda A_{k-1,1} = \lambda A_{k-1,1} + F'_{k-1,k} A_{k1}
が成り立つ。したがって \( F'_{k-1,k} A_{k1} = 0 \) であり、\( F'_{k-1,k} \) が列フルランクであることから \( A_{k1} = 0 \) が従う。
ブロック位置 \( (k-2,1) \) において、
\lambda A_{k-2,1} = \lambda A_{k-2,1} + F'_{k-2,k-1} A_{k-1,1}
となるが、すでに \( A_{k1} = 0 \) を得ているので \( F'_{k-2,k-1} A_{k-1,1} = 0 \) が成り立ち、従って \( A_{k-1,1} = 0 \) となる。
この手順を第1ブロック列の上に向かって進め、各段階でその列の下のブロックがゼロであることを用いると、最終的に \( i = k, k-1, \ldots, 2 \) に対して \( A_{i1} = 0 \) が従う。
次にブロック位置 \( (k-1,2) \) を調べ、同様の方法で上に進めると、\( i = k, k-1, \ldots, 3 \) に対して \( A_{i2} = 0 \) が示される。
この過程を左から右へ、下から上へと繰り返すことで、最終的に \( A \) が \( F \) と \( F' \) に適合するブロック上三角行列であることが分かる。
さらに、もし \( A \) が正規かつブロック三角行列であるならば、(2.5.2) により \( A \) はブロック対角行列であることが保証される。■
この補題を用いて、次を示す。すなわち、もし \( A, B \in M_n \) が可換であるならば、相似変換により \( A \) をそのワイル標準形 \( W_A \) にし、同時に \( B \) を \( W_A \) のブロック構造に従うブロック上三角行列に変換できる。
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