3.4.2
3.4.2 ウェイヤー標準形。ウェイヤー特性（3.1.16）は、ジョルダン標準形の一意性の議論において重要な役割を果たした。それはまた、ジョルダン形に比べていくつかの利点を持つ相似に対する標準形を定義するためにも用いることができる。ここでは、ウェイヤーブロックを定義することから始める。
λ ∈ \( \mathbb{C} \) を与えられた複素数とし、\( q \geq 1 \) を正の整数とする。また、\( w_1 \geq \cdots \geq w_q \geq 1 \) を非増加列の正の整数列とし、\( w = (w_1, \ldots, w_q) \) とする。λ と w に対応するウェイヤーブロック \( W(w, \lambda) \) は、次のような \( q \times q \) ブロック上三角双対角行列である。
W(w, \lambda) =
\begin{bmatrix}
\lambda I_{w_1} & G_{w_1,w_2} & & & \\
& \lambda I_{w_2} & G_{w_2,w_3} & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \lambda I_{w_{q-1}} & G_{w_{q-1},w_q} \\
& & & & \lambda I_{w_q}
\end{bmatrix}
ここで、
G_{w_i,w_j} =
\begin{bmatrix}
I_{w_j} \\
0
\end{bmatrix}
\in M_{w_i,w_j}, \quad 1 \leq i \lt j
注意すべきは、\(\mathrm{rank}\, G_{w_i,w_j} = w_j\) であり、もし \( w_i = w_{i+1} \) なら \( G_{w_i,w_{i+1}} = I_{w_i} \) となることである。
ウェイヤーブロック \( W(w, \lambda) \) は、ジョルダンブロックの \( q \times q \) ブロック行列版と考えることができる。対角ブロックはスカラー行列 \( \lambda I \) であり、そのサイズは非増加順に並んでいる。また、超対角ブロックは
\begin{bmatrix}
I \\
0
\end{bmatrix}
の形をした列フルランクのブロックであり、そのサイズは対角ブロックの大きさに従う。
練習問題. (3.4.2.1) におけるウェイヤーブロック \( W(w,\lambda) \) のサイズは \( w_1 + \cdots + w_q \) であることを示せ。また、\(\mathrm{rank}(W(w,\lambda) - \lambda I) = w_2 + \cdots + w_q \) である理由を説明せよ。
練習問題. \( G_{w_{k-1},w_k} G_{w_k,w_{k+1}} = G_{w_{k-1},w_{k+1}} \) を確認せよ。すなわち、
\begin{bmatrix}
I_{w_k} \\
0_{w_{k-1}-w_k,\, w_k}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{w_{k+1}} \\
0_{w_k-w_{k+1},\, w_{k+1}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
I_{w_{k+1}} \\
0_{w_{k-1}-w_{k+1},\, w_{k+1}}
\end{bmatrix}
この練習問題を用いると、\((W(w,\lambda)-\lambda I)^2\) は次のようになる。
(W(w,\lambda) - \lambda I)^2 =
\begin{bmatrix}
0_{w_1} & 0 & G_{w_1,w_3} & & \\
& 0_{w_2} & 0 & & \\
& & 0_{w_3} & \ddots & \\
& & & \ddots & G_{w_{q-2},w_q} \\
& & & & 0_{w_q}
\end{bmatrix}
したがって、\(\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^2 = w_3 + \cdots + w_q\) となる。累乗を一つ上げるごとに、非零超対角ブロックは一つ上の超対角に移動する。一般に、各 \( p = 1,2,\ldots \) に対して、
\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^p = w_{p+1} + \cdots + w_q
したがって、
\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^{p-1} - \mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^p = w_p, \quad p=1,\ldots,q
ゆえに、固有値 λ に対応する \( W(w,\lambda) \) のウェイヤー特性は w である。
練習問題. (3.4.2.1) における対角ブロックの数（パラメータ q）が、固有値 λ の指数である理由を説明せよ。
ウェイヤー行列とは、異なる固有値に対応するウェイヤーブロックの直和である。任意の \( A \in M_n \) に対して、λ を A の固有値とし、その指数を q とする。A の λ に対応するウェイヤー特性を \( w_k = w_k(A,\lambda) \) (\( k=1,2,\ldots \)) とし、λ に対応する A のウェイヤーブロックを
W_A(\lambda) = W(w(A,\lambda), \lambda)
と定義する。例えば、(3.1.16a) におけるジョルダン行列 J の固有値 0 に対応するウェイヤー特性は \( w_1(J,0)=6, w_2(J,0)=5, w_3(J,0)=2 \) であるから、
W_J(0) =
\begin{bmatrix}
0_{6} & G_{6,5} & \\
& 0_{5} & G_{5,2} \\
& & 0_{2}
\end{bmatrix}
となる (3.4.2.2)。
練習問題. λ を A ∈ M_n の固有値とする。このとき、ウェイヤーブロック \( W_A(\lambda) \) のサイズが λ の代数的重複度である理由を説明せよ。
練習問題. (3.4.2.2) のウェイヤーブロックについて、次を直接計算により確認せよ。
W_J(0)^2 =
\begin{bmatrix}
0_6 & 0_{6,5} & G_{6,2} \\
& 0_5 & 0_{5,2} \\
& & 0_2
\end{bmatrix},
\quad
W_J(0)^3 = 0
さらに、\(\mathrm{rank}\, W_J(0) = 7 = w_2 + w_3\)、\(\mathrm{rank}\, W_J(0)^2 = 2 = w_3\) であり、したがって固有値 0 に対応する \( W_J(0) \) のウェイヤー特性は (6,5,2) である。よって \( W_J(0) \) は J に相似である。
ここで、ウェイヤー標準形定理を述べることができる。
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