[行列解析3.4.1.8]

3.4.1.8

系 3.4.1.8. \( A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & 0 \end{bmatrix} \in M_n \) であり、もし \( B \in M_m \) が実行列に相似であるならば、\( A \) も実行列に相似である。

証明. \( S \in M_m \) が正則で、\( S B S^{-1} = R \) が実行列であると仮定する。このとき、

A = (S \oplus I_{n-m}) A (S \oplus I_{n-m})^{-1} = \begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

が成り立ち、これは \(A\) に相似である。

もし \(\lambda \neq 0\) ならば、次の行列の列ランクは一致する：

(A - \lambda I)^k = \begin{bmatrix} (R - \lambda I)^k & 0 \\ 0 & (-\lambda)^k I_{n-m} \end{bmatrix}

そのランクは \(n - m + \operatorname{rank}(R - \lambda I)^k\) である。

以上より、\( A \) は \( A \) に相似であり、したがって \( A \) も実行列に相似である。