3.4.1.5
定理 3.4.1.5.
任意の \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) は、実相似変換によって次のような実ブロック対角行列に相似している：
C_{n_1}(a_1, b_1) \oplus \cdots \oplus C_{n_p}(a_p, b_p) \oplus J_{m_1}(\mu_1) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\mu_r)
ここで、\(\lambda_k = a_k + i b_k \ (k = 1,2,\ldots,p)\) は \(A\) の非実固有値であり、それぞれの \(a_k, b_k\) は実数で、かつ \(b_k \gt 0\) である。また、\(\mu_1, \ldots, \mu_r\) は \(A\) の実固有値である。
各実ブロック三角行列 \(C_{n_k}(a_k, b_k) \in M_{2n_k}\) は (3.4.1.4) の形をしており、ジョルダン標準形 (3.1.12) における非実固有値 \(\lambda_k\) に対応する共役なジョルダンブロック \(J_{n_k}(\lambda_k), J_{n_k}(\overline{\lambda_k}) \in M_{n_k}\) に対応している。
(3.4.6) に含まれる実ジョルダンブロック \(J_{m_k}(\mu_k)\) は、(3.1.12) における実固有値を持つジョルダンブロックである。
証明. 我々は、\(A\) が \(\mathbb{C}\) 上で (3.4.1.6) に相似することをすでに示した。定理 1.3.28 によって、\(A\) は \(\mathbb{R}\) 上でも (3.4.6) に相似することが保証される。
ブロック行列 (3.4.1.6) が \(A\) の実ジョルダン標準形である。以下の系は、実行列への相似に関するいくつかの有用な別の基準を定式化する。
コメント