[行列解析3.4.1]

3.4.1

実ジョルダン標準形。\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とすると、非実固有値は必ず共役複素数のペアで現れます。任意の \( \lambda \in \mathbb{C} \) と任意の \( k = 1,2,\ldots \) に対して

\operatorname{rank}(A - \lambda I)^k = \operatorname{rank}(A - \overline{\lambda} I)^k

が成り立ちます。したがって、複素共役ペアに対応する \( A \) のウェイア特性は一致します（すなわち、すべての \( k \) に対して \( w_k(A, \lambda) = w_k(A, \overline{\lambda}) \)）。補題 3.1.18 により、固有値 \( \lambda \) に対応する \( A \) のジョルダン構造は、固有値 \( \overline{\lambda} \) に対応する構造と同じであることが保証されます（すなわち、すべての \( k \) に対して \( s_k(A, \lambda) = s_k(A, \overline{\lambda}) \)）。したがって、非実固有値に対応するすべてのサイズのジョルダンブロックは、等しいサイズの共役ペアで現れます。

例えば、\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が非実固有値 \( \lambda \) を持ち、\( A \) のジョルダン標準形に \( k \) 個のブロック \( J_2(\lambda) \) が含まれるなら、\( J_2(\overline{\lambda}) \) も \( k \) 個含まれます。このとき、ブロック対角行列

\begin{bmatrix} J_2(\lambda) & \\ & J_2(\overline{\lambda}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \overline{\lambda} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \overline{\lambda} \end{bmatrix}

は、2行目と3行目（および対応する列）を入れ替えることで、ブロック上三角行列

\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \overline{\lambda} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \overline{\lambda} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} D(\lambda) & I_2 \\ 0 & D(\lambda) \end{bmatrix}

に置換相似となります。ここで \( D(\lambda) \in M_2 \) は

D(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \overline{\lambda} \end{bmatrix}

です。一般に、次の形のジョルダン行列

\begin{bmatrix} J_k(\lambda) & \\ & J_k(\overline{\lambda}) \end{bmatrix} \in M_{2k} \tag{3.4.1.1}

は、次のブロック上三角（ブロック双対対角）行列に置換相似です。

\begin{bmatrix} D(\lambda) & I_2 & & & \\ & D(\lambda) & I_2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & D(\lambda) & I_2 \\ & & & & D(\lambda) \end{bmatrix} \in M_{2k} \tag{3.4.1.2}

この行列は、主ブロック対角に \( k \) 個の 2×2 ブロック \( D(\lambda) \) を持ち、ブロック上対角には \( k-1 \) 個の \( I_2 \) を持ちます。

\( \lambda = a + ib, \; a, b \in \mathbb{R} \) とすると、計算により \( D(\lambda) \) は実行列に相似であることが分かります：

C(a,b) := \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = S D(\lambda) S^{-1} \tag{3.4.1.3}

ここで、

S = \begin{bmatrix} -i & -i \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad S^{-1} = \tfrac{1}{2i} \begin{bmatrix} -1 & i \\ -1 & -i \end{bmatrix}

です。さらに、非実固有値 \( \lambda \) に対して (3.4.1.2) の形を持つすべてのブロック行列は、次の形の実ブロック行列に相似です。

C_k(a,b) := \begin{bmatrix} C(a,b) & I_2 & & & \\ & C(a,b) & I_2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & C(a,b) & I_2 \\ & & & & C(a,b) \end{bmatrix} \in M_{2k} \tag{3.4.1.4}

ここで相似変換行列は \( S \oplus \cdots \oplus S \) （\( k \) 個の直和）です。したがって、(3.4.1.1) の形を持つすべてのブロック行列は (3.4.1.4) の \( C_k(a,b) \) に相似です。これらの観察結果から、実ジョルダン標準形定理が導かれます。