3.3 問題18
3.3.P18
ニュートンの恒等式 (2.4.18–19) は、標準的な行列解析の恒等式をコンパニオン行列に適用することで証明できる。(2.4.P3) と (2.4.P9) の記法を採用し、\( A \in M_n \) を多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1t + a_0 \) のコンパニオン行列とする。以下の詳細を示せ。(a) \( p(t) = p_A(t) \) なので \( p(A) = 0 \) であり、したがって
0 = \operatorname{tr}(A^k p(A)) = \mu_{n+k} + a_{n-1}\mu_{n+k-1} + \cdots + a_1\mu_{k+1} + a_0\mu_k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
これは (2.4.19) である。(b) (2.4.13) を用いて次を示せ。
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A)) = n t^{n-1} + \operatorname{tr} A^{n-2} t^{n-2} + \cdots + \operatorname{tr} A t + \operatorname{tr} A^0
\tag{3.3.17}
(2.4.17) を使って、次を示せ。
\operatorname{tr} A^{n-k-1} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k},
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (3.3.17) の右辺における \( t^{n-k-1} \) の係数である。他方、(0.8.10.2) より
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A))
= n t^{n-1} + (n-1)a_{n-1}t^{n-2} + \cdots + 2a_2 t + a_1
したがって左辺の \( t^{n-k-1} \) の係数は \((n-k)a_{n-k}\) である。結論として、
(n-k)a_{n-k} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k},
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (2.4.17) と同値である。
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