3.3 問題14
3.3.P14
(3.3.12)
A =
\begin{bmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & -a_1 \\
& 1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & & & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} \in M_n
\(A\in M_n\) がコンパニオン行列 (3.3.12) のとき、次を示せ：
(a) \(n=2\) の場合、\(A\) は正規であることと \(|a_0|=1\) かつ \(a_1 = -a_0\overline{a_1}\) が同値である。さらに単位行列（ユニタリ）であることは \(|a_0|=1\) かつ \(a_1=0\) と同値である。
(b) \(n\ge 3\) のとき、\(A\) が正規であることは \(|a_0|=1\) かつ \(a_1=\cdots=a_{n-1}=0\)（すなわち \(p_A(t)=t^n-c\) かつ \(|c|=1\)）と同値である。
(c) \(n\ge 3\) かつ \(A\) が正規ならば \(A\) はユニタリであり、ある \( \varphi\in[0,2\pi/n) \) が存在して固有値は \( e^{i\varphi} e^{2\pi i k/n},\ k=0,\dots,n-1\) の形になることを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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