3.3.4系
系 3.3.4.
各 \( A \in M_n \) に対して、最小多項式 \( q_A(t) \) は特性多項式 \( p_A(t) \) を割る。
また、\( q_A(\lambda) = 0 \) であることと、\( \lambda \) が \( A \) の固有値であることは同値である。
したがって、\( p_A(t) = 0 \) のすべての根は \( q_A(t) = 0 \) の根である。
証明.
\( p_A(A) = 0 \) であるので、\( p_A(t) = h(t) q_A(t) \) となる多項式 \( h(t) \) が存在することは (3.2.1) から従う。
この因数分解から、\( q_A(t) = 0 \) のすべての根は \( p_A(t) = 0 \) の根であり、したがって \( q_A(t) = 0 \) のすべての根は \( A \) の固有値であることがわかる。もし \( \lambda \) が \( A \) の固有値で、\( x \) が対応する固有ベクトルならば、\( Ax = \lambda x \) であり、
0 = q_A(A)x = q_A(\lambda)x
となる。
したがって \( x \neq 0 \) であるから \( q_A(\lambda) = 0 \) である。
この系は、特性多項式 \( p_A(t) \) が次のように完全因数分解された場合を示している。
p_A(t) = \prod_{i=1}^d (t - \lambda_i)^{s_i}, \quad 1 \leq s_i \leq n, \quad s_1 + s_2 + \cdots + s_d = n
ここで、\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_d\) は互いに異なるとする。
このとき最小多項式 \( q_A(t) \) は次の形をもつ：
q_A(t) = \prod_{i=1}^d (t - \lambda_i)^{r_i}, \quad 1 \leq r_i \leq s_i
理論的には、これは与えられた行列 \( A \) の最小多項式を求めるアルゴリズムを与える：
- まず、\( A \) の固有値を代数的重複度とともに計算する。これは特性多項式を求め、それを完全に因数分解することによって得られる。その結果、(3.3.5a) の因数分解が得られる。
- (3.3.5b) の形をした多項式は有限個しか存在しない。すべての \( r_i = 1 \) から始めて、実際に計算して \( A \) を消去する最小次数の積を決定する。それが最小多項式である。
数値計算においては、大きな行列の特性多項式を因数分解することを含む場合、この方法は良いアルゴリズムではない。
しかし、単純な形をした小さい行列を手計算する場合には非常に有効である。
特性多項式や固有値を知らなくても最小多項式を計算する別の方法が (3.3.P5) に示されている。
行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形と最小多項式の間には密接な関係がある。
もし \( A = SJS^{-1} \) が \( A \) のジョルダン標準形であるとし、まず \( J = J_n(\lambda) \) が単一のジョルダンブロックである場合を考える。
このとき特性多項式は \( (t - \lambda)^n \) であり、\( (J - \lambda I)^k \neq 0 \) が \( k \lt n \) のときに成り立つので、最小多項式も \( (t - \lambda)^n \) である。
しかし、もし \( J = J_{n_1}(\lambda) \oplus J_{n_2}(\lambda) \in M_n \) で \( n_1 \geq n_2 \) の場合、特性多項式はやはり \( (t - \lambda)^n \) であるが、このとき \( (J - \lambda I)^{n_1} = 0 \) であり、それ以下のべき乗では 0 にならない。したがって最小多項式は \( (t - \lambda)^{n_1} \) である。
さらに、もし固有値 \(\lambda\) に対応するジョルダンブロックが複数ある場合でも、結論は同じであり、最小多項式は \((t - \lambda)^r\) の形になり、\( r \) は \(\lambda\) に対応する最大のジョルダンブロックのサイズである。
一般のジョルダン行列 \( J \) の場合、最小多項式は各異なる固有値 \(\lambda_i\) に対して因子 \((t - \lambda_i)^{r_i}\) を含み、\( r_i \) はその固有値 \(\lambda_i\) に対応する最大のジョルダンブロックのサイズでなければならない。
より小さなべき乗ではその固有値に対応するすべてのジョルダンブロックを消去できず、より大きなべき乗は不要である。
相似な行列は同じ最小多項式をもつので、次の定理が証明されたことになる。
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