3.3.10
系 3.3.10. \( A \in M_n \) とし、その最小多項式を \( q_A(t) \) とする。このとき次の条件は同値である。
(a) \( q_A(t) \) が互いに異なる一次因子の積である。
(b) \( A \) のすべての固有値は \( q_A(t) = 0 \) の根として重複度 1 をもつ。
(c) すべての固有値 \( \lambda \) に対して \( q_A'(\lambda) \neq 0 \) である。
(d) \( A \) は対角化可能である。
これまで、与えられた \( A \in M_n \) に対して、それを消去する最小次数の首一多項式を求める問題を考えてきた。では、その逆はどうだろうか？すなわち、次の首一多項式
p(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + a_{n-2}t^{n-2} + \cdots + a_1 t + a_0
が与えられたとき、それが最小多項式となるような行列 \( A \) は存在するだろうか？もし存在するなら、そのサイズは少なくとも \( n \times n \) でなければならない。そこで次の行列を考える：
A =
\begin{bmatrix}
0 & -a_0 & & & & \\
1 & 0 & -a_1 & & & \\
& 1 & 0 & -a_2 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & 1 & 0 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} \in M_n
このとき次が成り立つことに注意する：
\( I e_1 = e_1 = A^0 e_1 \)
\( A e_1 = e_2 = A e_1 \)
\( A e_2 = e_3 = A^2 e_1 \)
\( A e_3 = e_4 = A^3 e_1 \)
\(\vdots\)
\( A e_{n-1} = e_n = A^{n-1} e_1 \)
さらに、
\( A e_n = -a_{n-1} e_n - a_{n-2} e_{n-1} - \cdots - a_1 e_2 - a_0 e_1 \)
\( = -a_{n-1} A^{n-1} e_1 - a_{n-2} A^{n-2} e_1 - \cdots - a_1 A e_1 - a_0 e_1 \)
\( = A^n e_1 = (A^n - p(A)) e_1 \)
したがって、
\( p(A)e_1 = (a_0 e_1 + a_1 A e_1 + a_2 A^2 e_1 + \cdots + a_{n-1} A^{n-1} e_1) + A^n e_1 \)
\( = (p(A) - A^n)e_1 + (A^n - p(A))e_1 = 0 \)
さらに、各 \( k = 1, 2, \ldots, n \) に対して
\( p(A)e_k = p(A)A^{k-1} e_1 = A^{k-1} p(A) e_1 = A^{k-1} 0 = 0 \)
が成り立つ。したがって、すべての基底ベクトル \( e_k \) に対して \( p(A) e_k = 0 \) なので、\( p(A) = 0 \) が従う。よって、\( p(t) \) は \( A \) を消去する次数 \( n \) の首一多項式である。
もしより低次数 \( m \lt n \) の多項式
q(t) = t^m + b_{m-1}t^{m-1} + \cdots + b_1 t + b_0
が \( A \) を消去すると仮定すれば、
\( 0 = q(A) e_1 = A^m e_1 + b_{m-1} A^{m-1} e_1 + \cdots + b_1 A e_1 + b_0 e_1 \)
\( = e_{m+1} + b_{m-1} e_m + \cdots + b_1 e_2 + b_0 e_1 = 0 \)
となる。しかし、\( e_1, e_2, \ldots, e_{m+1} \) は一次独立なので、これは不可能である。したがって、次数 \( n \) の多項式 \( p(t) \) が \( A \) を消去する最小次数の首一多項式であり、それが最小多項式である。
また、特性多項式 \( p_A(t) \) も次数 \( n \) の首一多項式であり、\( A \) を消去するので、(3.3.1) により、\( p(t) \) は行列 (3.3.12) の特性多項式でもある。
コメント