3.2.4.4
系 3.2.4.4. \( A, B, S \in M_n \) が与えられ、\( A \) が非退化（nonderogatory）であるとする。
- もし \( AB = BA^T \) ならば、\( B \) は対称行列である。
- もし \( S \) が正則で、かつ \( A^T = S^{-1}AS \) ならば、\( S \) は対称行列である。
証明.
(a) 対称かつ正則な行列 \( R \in M_n \) が存在して、
A^T = RAR^{-1} \quad (3.2.3.1)
が成り立つ。したがって
AB = BA^T = BRAR^{-1}
となる。これにより \( A(BR) = (BR)A \) が成立する。ゆえに (3.2.4.2) により、多項式 \( p(t) \) が存在して
BR = p(A)
が成り立つ。次に計算すると
R B^T = (BR)^T = p(A)^T = p(A^T) = p(RAR^{-1}) = Rp(A)R^{-1} = R(BR)R^{-1} = RB
となる。\( R \) は正則なので、これにより \( B^T = B \) が従う。
(b) もし \( A^T = S^{-1}AS \) ならば、
SA^T = AS
が成り立つ。したがって (a) により \( S \) は対称行列である。
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