[行列解析3.2.2]一般常微分方程式の線形系

3.2.2　一般常微分方程式の線形系

3.2.2 一般常微分方程式の線形系。

ジョルダン標準形の応用のひとつで、理論的に重要なものは、定数係数をもつ1階線形常微分方程式系の解の解析です。

\( A \in M_n \) が与えられたとき、次の初期値問題を考えます。

x'(t) = A x(t), \quad x(0) = x_0 \; \text{が与えられている}

ここで \( x(t) = [x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)]^T \) であり、プライム記号（\( '\) ）は \( t \) に関する微分を表します。

もし \( A \) が対角行列でなければ、この方程式系は「連結」しており、すなわち \( x'_i(t) \) は \( x_i(t) \) だけでなく、ベクトル \( x(t) \) の他の成分とも関係しています。

この連結のために問題は解きにくくなりますが、もし \( A \) が対角（あるいはほぼ対角）に変形できれば、連結の程度を減らすか、取り除くことができ、問題はより解きやすくなります。

もし \( A = SJS^{-1} \) で、\( J \) が \( A \) のジョルダン標準形であれば、(3.2.2.1) は次のように変形されます。

y'(t) = J y(t), \quad y(0) = y_0 \; \text{が与えられている}

ここで \( x(t) = S y(t) \)、\( y_0 = S^{-1} x_0 \) です。

(3.2.2.2) が解ければ、(3.2.2.1) の解 \( x(t) \) の各成分は、(3.2.2.2) の解の成分の線形結合で与えられ、その係数は行列 \( S \) によって決まります。

もし \( A \) が対角化可能ならば、\( J \) は対角行列であり、(3.2.2.2) は単に \( y'_k(t) = \lambda_k y_k(t) \) という非連結の方程式系になります。

この解は \( y_k(t) = y_k(0) e^{\lambda_k t} \) です。固有値 \( \lambda_k \) が実数なら、これは単純な指数関数になります。

もし \( \lambda_k = a_k + i b_k \) が実数でなければ、

y_k(t) = y_k(0) e^{a_k t} \left[\cos(b_k t) + i \sin(b_k t)\right]

となり、\( a_k \neq 0 \) の場合には実指数因子を伴う振動項になります。

もし \( J \) が対角でなければ、解はより複雑ですが、明示的に表すことができます。

\( J \) の異なるジョルダンブロックに対応する \( y(t) \) の成分は互いに連結しないため、\( J = J_m(\lambda) \) が1つのジョルダンブロックである場合を考えれば十分です。

このとき (3.2.2.2) は次の系になります。

\begin{aligned} y'_1(t) &= \lambda y_1(t) + y_2(t) \\ &\;\;\vdots \\ y'_{m-1}(t) &= \lambda y_{m-1}(t) + y_m(t) \\ y'_m(t) &= \lambda y_m(t) \end{aligned}

これは下から順に逐次的に解くことができます。

最後の式から、

y_m(t) = y_m(0) e^{\lambda t}

を得ます。

これを用いると、次は

y'_{m-1}(t) = \lambda y_{m-1}(t) + y_m(0) e^{\lambda t}

となり、この解は

y_{m-1}(t) = e^{\lambda t} \left[y_m(0) t + y_{m-1}(0)\right]

です。

これを次に代入すると、

y'_{m-2}(t) = \lambda y_{m-2}(t) + y_m(0) t e^{\lambda t} + y_{m-1}(0) e^{\lambda t}

となり、この解は

y_{m-2}(t) = e^{\lambda t} \left[ \tfrac{y_m(0)}{2} t^2 + y_{m-1}(0) t + y_{m-2}(0) \right]

となります。

以後も同様にして解けます。

一般に、解の各成分は次の形を持ちます。

y_k(t) = e^{\lambda t} q_k(t) = e^{\lambda t} \sum_{i=k}^m y_i(0) \frac{t^{\,i-k}}{(i-k)!}

したがって、\( q_k(t) \) は次数が最大でも \( m-k \) の多項式として明示的に決定されます（\( k = 1, \ldots, m \)）。

この解析から、問題 (3.2.2.1) の解 \( x(t) \) の各成分は次の形を持つことが分かります。

x_j(t) = e^{\lambda_1 t} p_1(t) + e^{\lambda_2 t} p_2(t) + \cdots + e^{\lambda_k t} p_k(t)

ここで、\( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k \) は \( A \) の異なる固有値であり、各 \( p_j(t) \) は多項式で、その次数は固有値 \( \lambda_j \) に対応する最大のジョルダンブロックの大きさよりも厳密に小さい（すなわち、\( \lambda_j \) の指数より小さい）ものです。

実固有値に対応する項は実数の指数関数因子を含み、非実固有値に対応する項は振動因子、場合によっては実指数因子も含むことになります。