3.1.P8
3.1問題8
\(A \in M_n\) とし、\(\operatorname{rank} A = r \ge 1\) かつ \(A^2=0\) と仮定する。前問または（3.1.18）を用いて、\(A\) のジョルダン標準形が \(J_2(0)\oplus\cdots\oplus J_2(0)\oplus 0_{\,n-2r}\)（\(2\times 2\) ブロックが \(r\) 個）であることを示せ。（2.6.P23）と比較せよ。
ヒント
\(A^2=0\) ならば最小多項式は \(x^2\) を割り、固有値は \(0\) のみである。したがってジョルダンブロックの大きさは高々 2 である。また \(\operatorname{rank}A=r\) から \(\dim \ker A=n-r\) がわかる。ジョルダンブロックの個数と核の次元との関係を用いると、2次ブロックの個数が決定できる。
解答例
\(A^2=0\) とする。このとき最小多項式は \(x^2\) を割るので、固有値は \(0\) のみであり、ジョルダンブロックの大きさは高々 2 である。したがって \(A\) のジョルダン標準形は
J_2(0)\ \text{と}\ J_1(0)
のみから構成される。
ここで \(J_2(0)\) の個数を \(s\)、\(J_1(0)\) の個数を \(t\) とすると、行列のサイズより
2s+t=n
である。
また \(\operatorname{rank}A=r\) であるから、階数・次元定理より
\dim \ker A = n-r
である。
一方、ジョルダン標準形で考えると、\(\ker A\) の次元は各ジョルダンブロックごとに1ずつ寄与する。したがって
s+t = n-r
が成り立つ。
2つの式
2s+t=n, \qquad s+t=n-r
を引き算すると
s=r
を得る。
したがって \(t=n-2r\) である。
以上より、\(A\) のジョルダン標準形は
J_2(0)\oplus\cdots\oplus J_2(0)\oplus 0_{\,n-2r}
（\(2\times2\) ブロックが \(r\) 個） である。
これは（2.6.P23）で得られる標準形とも一致する。
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