[行列解析3.1.P11]Weyr特性とSegre特性の対応

3.1.P11

3.1問題11

(3.1.15)

\begin{align} & r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k, \notag \quad \\ & r_0(A,\lambda) := n \notag \end{align}

(3.1.16) Weyr特性

\begin{align} & w_k(A,\lambda) = r_{k-1}(A,\lambda) - r_k(A,\lambda), \notag \\ & w_1(A,\lambda) := n - r_1(A,\lambda) \notag \end{align}

(3.1.16a)

\begin{align} J = & J_3(0) \oplus J_3(0) \notag \\ & \quad \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \notag \\ & \quad \quad \oplus J_1(0) \notag \end{align}

与えられた固有値に対応する行列の Weyr 特性は、点図（Ferrers 図や Young 図とも呼ばれる）で表すことがでる。例えば、(3.1.16a) のジョルダン行列 \(J\) と、その Weyr 特性 \(w(J,0)=(w_1,w_2,w_3)\) を考る。

これに基づき、1 行目に \(w_1\) 個、2 行目に \(w_2\) 個、3 行目に \(w_3\) 個の点を置き、次の点図を作る（\(w_k=0\) となる \(k\ge 4\) で打ち切る）。

\begin{array}{ccccccc} w_1 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ w_2 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \\ w_3 & \bullet & \bullet & & & & \\ & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \end{array}

左から各列の長さを数えると \(3,3,2,2,2,1\) となり、これが Segre 特性 \(s_k=s_k(J,0)\)（\(k=1,2,\dots,6\)）である。

つまり \(J\) は \(J_3(0)\) が 2 個、\(J_2(0)\) が 3 個、\(J_1(0)\) が 1 個ある。

逆に、まず各列に \(s_1,s_2,\dots\) 個の点を置いて点図を作れば、行ごとに\(w_1,w_2,w_3\) 個の点が並ぶ。

(a) 各列 \(j=1,2,\dots\) に \(s_j(A,\lambda)\) 個の点がある理由を説明せよ。

(b) Segre 特性から列を構成し、それを読み取って行ごとの点数（Weyr 特性）を得られる理由を説明せよ。

\(r_k(A,\lambda)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k\) とし、 \(w_k=r_{k-1}-r_k\) と定義する。

一方、Segre特性 \(s_j\) は「大きさが \(j\) 以上のジョルダンブロックの個数」を表す。ジョルダン標準形で考えると、核や階数はブロックごとに加法的に計算できることを用いる。

\(\lambda\) に対応するジョルダン標準形を

J=\bigoplus_{i=1}^t J_{m_i}(\lambda)

とする。

(a) 各列 \(j\) に \(s_j(A,\lambda)\) 個の点がある理由を説明する。

\(s_j(A,\lambda)\) は「大きさが \(j\) 以上のジョルダンブロックの個数」である。 Ferrers図では各ジョルダンブロックを縦に点を並べた列で表す。大きさ \(m_i\) のブロックは縦に \(m_i\) 個の点をもつ。

したがって、列番号 \(j\) に点が存在するのは、 \(m_i \ge j\) を満たすブロックに限られる。よって第 \(j\) 列の点の個数は

s_j(A,\lambda) = \#\{\, i \mid m_i \ge j \,\}

となる。

(b) Segre特性からWeyr特性が得られる理由を説明する。

Weyr特性は

w_k = r_{k-1}-r_k

であり、これは「大きさが \(k\) 以上のブロックの個数」に等しい。

すなわち

w_k(A,\lambda) = s_k(A,\lambda)

である。

したがって、各列に \(s_j\) 個の点を置くと、第 \(k\) 行の点の個数は「高さが \(k\) 以上の列の個数」となり、これはちょうど \(w_k\) に一致する。

以上より、Segre特性とWeyr特性はFerrers図を通じて互いに転置の関係にあり、列を読めばSegre特性、行を読めばWeyr特性が得られることがわかる。