[行列解析3.1.21]

3.1.21系

系 3.1.21. \( A \in M_n \) と非零の \( \xi \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。

このとき、ある正則行列 \( S(\xi) \in M_n \) が存在して、次が成り立つ。

A = S(\xi) \begin{bmatrix} J_{n_1}(\lambda_1, \xi) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n_k}(\lambda_k, \xi) \end{bmatrix} S(\xi)^{-1}

ここで、\( n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n \) であり、

J_m(\lambda, \xi) = \begin{bmatrix} \lambda & \xi & & & \\ & \lambda & \xi & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda & \xi \\ & & & & \lambda \end{bmatrix} \in M_m

もし \( A \) が実行列で固有値も実数であり、かつ \( \xi \in \mathbb{R} \) であるなら、\( S(\xi) \) は実行列として選ぶことができる。

証明.

まず、ある正則行列 \( S_1 \in M_n \) を取り、\( S_1^{-1} A S_1 \) が (3.1.3) で与えられるジョルダン標準形になるようにする（もし \( A \) が実行列で固有値も実数なら、\( S_1 \) も実行列としてとれる）。

次に、\( D_{\xi,i} = \mathrm{diag}(1, \xi, \xi^2, \ldots, \xi^{n_i-1}) \) と定義し、\( D_\xi = D_{\xi,1} \oplus \cdots \oplus D_{\xi,q} \) とする。そして \( D_\xi^{-1}(S_1^{-1} A S_1)D_\xi \) を計算すると、この行列は (3.1.22) の形になる。したがって、\( S(\xi) = S_1 D_\xi \) は所望の条件を満たす。