3.1.21系
系 3.1.21. \( A \in M_n \) と非零の \( \xi \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。
このとき、ある正則行列 \( S(\xi) \in M_n \) が存在して、次が成り立つ。
A = S(\xi)
\begin{bmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1, \xi) & & \\
& \ddots & \\
& & J_{n_k}(\lambda_k, \xi)
\end{bmatrix}
S(\xi)^{-1}
ここで、\( n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n \) であり、
J_m(\lambda, \xi) =
\begin{bmatrix}
\lambda & \xi & & & \\
& \lambda & \xi & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \lambda & \xi \\
& & & & \lambda
\end{bmatrix}
\in M_m
もし \( A \) が実行列で固有値も実数であり、かつ \( \xi \in \mathbb{R} \) であるなら、\( S(\xi) \) は実行列として選ぶことができる。
証明.
まず、ある正則行列 \( S_1 \in M_n \) を取り、\( S_1^{-1} A S_1 \) が (3.1.3) で与えられるジョルダン標準形になるようにする（もし \( A \) が実行列で固有値も実数なら、\( S_1 \) も実行列としてとれる）。
次に、\( D_{\xi,i} = \mathrm{diag}(1, \xi, \xi^2, \ldots, \xi^{n_i-1}) \) と定義し、\( D_\xi = D_{\xi,1} \oplus \cdots \oplus D_{\xi,q} \) とする。そして \( D_\xi^{-1}(S_1^{-1} A S_1)D_\xi \) を計算すると、この行列は (3.1.22) の形になる。したがって、\( S(\xi) = S_1 D_\xi \) は所望の条件を満たす。
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