3.1.18補題
補題 3.1.18.
\(A \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) を与えられたものとし、\(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) を \(\lambda\) に対応する \(A\) の Weyr 特性とする。
\(A\) の Jordan 標準形において \(J_k(\lambda)\) の形を持つブロックの個数は、すべての \(k = 1, 2, \ldots\) に対して \(w_k(A, \lambda) - w_{k+1}(A, \lambda)\) である。
二つの正方複素行列 \(A, B \in M_n\) が相似であることの必要十分条件は、
(a) 異なる固有値 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) が一致すること、および
(b) 各 \(i = 1, \ldots, d\) に対して、すべての \(k = 1, 2, \ldots\) について \(w_k(A, \lambda_i) = w_k(B, \lambda_i)\) が成り立つこと、すなわち各固有値に対応する Weyr 特性が一致することである。
\(A \in M_n\) の Jordan 構造は、各固有値 \(\lambda\) に対し、固有値 \(\lambda\) を持つすべての Jordan ブロックのサイズのリストを与えることで完全に記述できる。
固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の Jordan ブロックのサイズを非増加順に並べたリスト
s_1(A, \lambda) \geq s_2(A, \lambda) \geq \cdots \geq s_{w_1(A,\lambda)}(A, \lambda) \gt 0\\
= 0 = s_{w_1(A,\lambda)+1}(A, \lambda) = \cdots
(3.1.19) を、固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の Segre 特性と呼ぶ。
すべての \(k \gt w_1(A, \lambda)\) に対して \(s_k(A, \lambda) = 0\) と定義するのが便利である。
ここで、\(s_1(A, \lambda)\) は固有値 \(\lambda\) の指数（すなわち \(\lambda\) を持つ最大の Jordan ブロックのサイズ）であり、
\(s_{w_1(A,\lambda)}(A, \lambda)\) は \(\lambda\) を持つ最小の Jordan ブロックのサイズである。
例えば、(3.1.16a) の行列の零固有値に対応する Segre 特性は \(3, 3, 2, 2, 2, 1\) である（\(s_1(J, 0) = 3, s_6(J, 0) = 1\)）。
もし \(s_k = s_k(A, \lambda), k = 1, 2, \ldots\) が固有値 \(\lambda\) に対応する \(A \in M_n\) の Segre 特性であり、\(w_1 = w_1(A, \lambda)\) ならば、固有値 \(\lambda\) を持つすべての Jordan ブロックを含む Jordan 標準形の部分は次のようになる。
\begin{bmatrix}
J_{s_1}(\lambda) & & & \\
& J_{s_2}(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& & & J_{s_{w_1}}(\lambda)
\end{bmatrix}
Segre 特性がわかれば Weyr 特性を求めるのは容易であり、逆もまた可能である。
例えば、Segre 特性が \(3, 3, 2, 2, 2, 1\) の場合、大きさ 1 以上のブロックが 6 個、大きさ 2 以上のブロックが 5 個、大きさ 3 以上のブロックが 2 個あるので、Weyr 特性は \(6, 5, 2\) である。
逆に、Weyr 特性が \(6, 5, 2\) の場合、大きさ 1 のブロックが \(6 - 5 = 1\) 個、大きさ 2 のブロックが \(5 - 2 = 3\) 個、大きさ 3 のブロックが \(2 - 0 = 2\) 個であることから、Segre 特性は \(3, 3, 2, 2, 2, 1\) となる。
Jordan 標準形の導出は、明示的なアルゴリズムに基づいているが、Jordan 標準形を計算するためのソフトウェア実装には推奨できない。
単純な例がこの困難さを示す。
もし
A_\epsilon = \begin{bmatrix} 0 & \epsilon \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
であり、\(\epsilon \neq 0\) のとき、
\begin{align}
& A_\epsilon = S_\epsilon J_\epsilon S_\epsilon^{-1}, \notag \\
& S_\epsilon = \begin{bmatrix} 0 & \epsilon \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \notag \\
& J_\epsilon = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \epsilon \end{bmatrix} \notag
\end{align}となる。ここで \(\epsilon \to 0\) とすると、\(J_\epsilon \to \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} = J_1(0) \oplus J_1(0)\) であるが、一方で \(A_\epsilon \to A_0 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) となり、その Jordan 標準形は \(J_2(0)\) である。行列の成分に小さな変化があっても、その Jordan 標準形に大きな変化をもたらすことがある。
困難の根源は、\(\mathrm{rank}(A)\) が \(A\) の成分に関して連続関数ではないという点にある。
なお、すべての行列は (3.1.12) の形、すなわち Jordan ブロックにある「+1」の要素を任意の \(\epsilon \neq 0\) に置き換えた形の行列と相似であることを知っておくと便利な場合がある。
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