[行列解析3.1.1]定義

3.1.1

定義 3.1.1.

ジョルダンブロック \( J_k(\lambda) \) とは、次の形をもつ \( k \times k \) の上三角行列をいいます。

J_k(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{bmatrix}

例えば、

(3.1.2)

J_1(\lambda) = [\lambda], \quad J_2(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}

スカラー \(\lambda\) は主対角線上に \(k\) 回現れます。もし \(k \gt 1\) なら、超対角線上に \(k-1\) 個の「1」が存在し、その他の成分はすべてゼロです。

ジョルダン行列 \( J \in M_n \) とは、ジョルダンブロックの直和として表される行列のことです。

(3.1.3)

J = J_{n_1}(\lambda_1) \oplus J_{n_2}(\lambda_2) \oplus \cdots \oplus J_{n_q}(\lambda_q),\\ \quad n_1 + n_2 + \cdots + n_q = n

ここで、ブロックのサイズ \(n_i\) やスカラー \(\lambda_i\) が互いに異なる必要はありません。

この節の主な結果は、すべての複素行列が本質的に一意なジョルダン行列と相似であるということです。この結論に至るまでに、すでに2つのステップが進められており、残るステップを以下に示します。

ステップ1. 定理 2.3.1 により、任意の複素行列は上三角行列と相似であり、その固有値は主対角線上に現れ、同じ固有値はまとめて配置されることが保証されます。

ステップ2. 定理 2.4.6.1 により、ステップ1で得られた行列は、各対角ブロックの対角成分がすべて等しいようなブロック対角上三角行列（2.4.6.2）と相似であることが保証されます。

ステップ3. 本節では、対角成分がすべて等しい上三角行列がジョルダン行列と相似であることを示します。

さらに、行列が実行列であり、固有値もすべて実数である場合には、実相似変換によってジョルダン行列に簡約できることも結論づけたいと思います。もし実行列 \(A\) がすべて実固有値をもつなら、定理 (2.3.1) と (2.4.6.1) により、ある実相似行列 \(S\) が存在して、\(S^{-1}AS\) が形 (2.4.6.2) の（実の）ブロック対角上三角行列となることが保証されます。したがって、対角成分が等しい実上三角行列が、実相似変換によってジョルダンブロックの直和に簡約されることを示せば十分です。

次の補題はステップ3を進めるうえで役に立ちます。その証明は完全に直接的な計算に基づきます。固有値がゼロの \(k \times k\) ジョルダンブロックは冪零ジョルダンブロックと呼ばれます。