0.9.6 巡回行列（Circulant matrices）
\( A \in M_n(F) \) が次のような形を持つとき、行列 \( A \) は巡回行列と呼ばれます。
A =
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_2 & a_3 & \cdots & a_1
\end{bmatrix}
各行はその前の行を1つ前に巡回させたものであり、それぞれの行の要素は最初の行の要素の巡回置換になっています。
次の \( n \times n \) 行列 \( C_n \) は、基本巡回置換行列と呼ばれます。
C_n =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & I_{n-1} \\
1 & 0_{1,n-1}
\end{bmatrix}
任意の行列 \( A \in M_n(F) \) は、以下の形で表すことができるとき、巡回行列です。
A = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} C_n^k
ここで、これは \( C_n \) に関する多項式であり、かつ \( C_n^0 = I = C_n^n \) です。係数 \( a_1, \dots, a_n \) は行列 \( A \) の第1行の要素に一致します。
この表示法から、サイズ \( n \) の巡回行列たちは可換代数（commutative algebra）を形成することが分かります。すなわち、巡回行列の線形結合も積もまた巡回行列となり、正則な巡回行列の逆行列も巡回行列であり、同じサイズの巡回行列同士は可換です。
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