[行列解析0.9.5]置換行列

0.9.5 置換行列

正方行列 \( P \) が置換行列であるとは、各行および各列にちょうど1つの要素が1で、他はすべて0であることを言います。
このような行列との積は、掛けられた行列の行または列の置換を行います。
例えば、

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

は、置換行列がベクトルの行（成分）をどのように置換するかを示しています。
ここでは、1番目の成分を2番目の位置に、2番目の成分を1番目の位置に、3番目の成分はそのまま3番目の位置に送っています。
行列 \( A \in \mathbb{M}_{m,n} \) に対し、左から \( m \times m \) の置換行列 \( P \) を掛けると \( A \) の行を置換し、
右から \( n \times n \) の置換行列 \( P \) を掛けると \( A \) の列を置換します。
基本変形の1種（0.3.3）の行列は、推移と呼ばれる特殊な置換行列の例です。
任意の置換行列は推移の積として表せます。

置換行列の行列式は \( \pm 1 \) であり、よって置換行列は正則です。
置換行列は必ずしも可換ではありませんが、置換行列同士の積は再び置換行列になります。
単位行列は置換行列であり、任意の置換行列 \( P \) に対し \( P^T = P^{-1} \) であるため、
\( n \times n \) の置換行列の集合は \( GL(n, \mathbb{C}) \) の部分群で、その要素数は \( n! \) です。
また、右から \( P^T = P^{-1} \) を掛ける操作は、左から \( P \) を掛けるのと同様に列を置換するため、
変換 \( A \to P A P^T \) は行と列（および主対角成分）を同じ方法で置換します。
係数行列 \( A \) の線形方程式においては、この変換は変数と方程式の番号を同じように変えることに相当します。
ある置換行列 \( P \) によって \( P A P^T \) が三角行列になるとき、行列 \( A \) は本質的に三角行列と呼ばれ、
これらの行列は三角行列と多くの共通点を持ちます。

\( \Lambda \in \mathbb{M}_n \) が対角行列で \( P \in \mathbb{M}_n \) が置換行列ならば、
\( P \Lambda P^T \) は対角行列となります。

\( n \times n \) の 反転行列 は次の置換行列です。

K_n = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{ij} \end{bmatrix} \in \mathbb{M}_n

ここで、成分は \(\kappa_{i,n-i+1} = 1\) で、他は0です。
この行列を左から掛けると行列 \( A \) の行が逆順に並び、右から掛けると列が逆順になります。
反転行列は sip 行列（標準的な自己逆置換行列）、後退単位行列、交換行列とも呼ばれます。

任意の \( n \times n \) 行列 \( A = [a_{ij}] \) に対し、要素 \( a_{i,n-i+1} \) （\( i=1,\ldots,n \)）は
反対角線成分（副対角線、後退対角線、交差対角線、デクスター対角線、またはアンチダイアゴナルとも呼ばれます）を構成します。

一般化置換行列とは、形 \( G = P D \) の行列で、ここで \( P, D \in \mathbb{M}_n \)、
\( P \) は置換行列、\( D \) は正則な対角行列です。
\( n \times n \) の一般化置換行列の集合は \( GL(n, \mathbb{C}) \) の部分群となります。