[行列解析0.9.4]ブロック三角行列

0.9.4 ブロック三角行列

行列 \( A \in \mathbb{M}_n(F) \) が次の形の場合、

A = \begin{bmatrix} A_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & A_{22} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{kk} \end{bmatrix}

ここで、各ブロック \( A_{ii} \in \mathbb{M}_{n_i}(F) \), \( i=1, \ldots, k \),
かつ \(\sum_{i=1}^k n_i = n\)、さらにブロック対角線の下のすべてのブロックがゼロであれば、
この行列は ブロック上三角行列 と呼ばれます。
また、すべての対角ブロックがゼロブロックの場合、厳密ブロック上三角行列 といいます。

行列の転置がブロック上三角行列であれば ブロック下三角行列 と呼び、
転置が厳密ブロック上三角行列なら 厳密ブロック下三角行列 と呼びます。
行列がブロック下三角またはブロック上三角のいずれかであれば ブロック三角行列 といいます。
また、ブロック下三角かつブロック上三角のとき、すなわち対角以外がすべてゼロの場合は ブロック対角行列 です。

すべての対角ブロックが1×1または2×2のブロック上三角行列は 上準三角行列 と呼ばれます。
転置が上準三角行列なら 下準三角行列、
上準三角または下準三角のいずれかであれば 準三角行列 といいます。
上準三角かつ下準三角の行列は 準対角行列 と呼ばれます。

(0.9.4.1) の正方ブロック三角行列 \( A \) に対し、
行列式は

\det A = \det A_{11} \cdots \det A_{kk}

であり、ランクは

\operatorname{rank} A \geq \operatorname{rank} A_{11} + \cdots + \operatorname{rank} A_{kk}

となります。
もし \( A \) が正則（すべての \( A_{ii} \) が正則）であれば、
逆行列 \( A^{-1} \) は \( A \) と同じブロック構成を持つブロック三角行列で、対角ブロックは \( A_{ii}^{-1} \) となります。

\( A \in \mathbb{M}_n(F) \) が上三角行列のとき、
任意の連続分割 \( \alpha_1, \ldots, \alpha_t \) に対して、
行列 \( [A[\alpha_i, \alpha_j]]_{i,j=1}^t \) はブロック上三角行列となります（0.7.2参照）。