[行列解析0.9.2]ブロック対角行列と直和

0.9.2 ブロック対角行列と直和

行列 \( A \in \mathbb{M}_n(F) \) が次の形の場合、

A = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{kk} \end{bmatrix}

ここで、\( A_{ii} \in \mathbb{M}_{n_i}(F) \)、\( i = 1, \ldots, k \)、かつ
\(\sum_{i=1}^k n_i = n\)、さらにブロック対角の上下のすべてのブロックが零行列であるとき、
この行列をブロック対角行列と呼びます。
このような行列は、次のように表すのが便利です：

A = A_{11} \oplus A_{22} \oplus \cdots \oplus A_{kk} = \bigoplus_{i=1}^k A_{ii}

これは行列 \( A_{11}, \ldots, A_{kk} \) の直和を意味します。
ブロック対角行列の多くの性質は対角行列の性質を一般化したものです。
例えば、

\det \left( \bigoplus_{i=1}^k A_{ii} \right) = \prod_{i=1}^k \det A_{ii}

したがって、\( A = \bigoplus A_{ii} \) は各 \( A_{ii} \) が正則である場合に限り正則です。
さらに、同じブロックサイズで \( A = \bigoplus_{i=1}^k A_{ii} \) と
\( B = \bigoplus_{i=1}^k B_{ii} \) とすると、
それぞれのペア \( A_{ii} \) と \( B_{ii} \) が可換であることと、
\( A \) と \( B \) が可換であることは同値です。
また、ランクは次のようになります。