[行列解析0.9.13]反転行列、冪零行列、射影行列、共反転行列

0.9.13 反転行列、冪零行列、射影行列、共反転行列

行列 \( A \in M_n(F) \) が次のいずれかの性質を持つ場合、それぞれ次のように呼ばれます：

• 反転行列（involution）：
  \( A^2 = I \)、すなわち \( A = A^{-1} \) が成り立つ場合。
  「involutory（反転的）」という用語も使用されます。
• 冪零行列（nilpotent）：
  ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k = 0 \) が成り立つ場合。
  このような最小の \( k \) を「冪零指数（index of nilpotence）」と呼びます。
• 射影行列（projection）：
  \( A^2 = A \) が成り立つ場合。
  「冪等行列（idempotent）」という用語も使用されます。

ここで、体 \( F \) が複素数体 \( \mathbb{C} \) であると仮定します。このとき、行列 \( A \in M_n \) に対して、以下のような定義があります：

• エルミート射影行列（Hermitian projection）：
  \( A^* = A \) および \( A^2 = A \) が成り立つ場合。
  「直交射影（orthogonal projection）」という用語も使用されます（詳細は (4.1.P19) を参照）。
• 共反転行列（coninvolution）：
  \( \overline{A} A = I \)、すなわち \( \overline{A} = A^{-1} \) が成り立つ場合。
  「共反転的（coninvolutory）」という用語も使用されます。

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2025.08.09