0.9.10 三重対角行列・双対角行列・その他の構造付き行列
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n(F) \) が上ヘッセンベルクかつ下ヘッセンベルクであるとき、三重対角行列（tridiagonal matrix）と呼ばれます。すなわち、すべての \( |i - j| > 1 \) に対して \( a_{ij} = 0 \) が成り立つとき、三重対角行列です。
A =
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & & \\
c_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \\
0 & c_2 & a_3 & \ddots & 0 \\
& \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & 0 & c_{n-1} & a_n
\end{bmatrix}
行列 \( A \) の行列式は以下のように帰納的に計算できます。まず
\det A_1 = a_1,\quad \det A_2 = a_1 a_2 - b_1 c_1
そして、次のような 2 次の行列の積を使って次の項を求めていきます：
\begin{bmatrix}
\det A_{k+1} & 0 \\
\det A_k & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{k+1} & -b_k c_k \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\det A_k & 0 \\
\det A_{k-1} & 0
\end{bmatrix}\\
\quad k = 2, \ldots, n - 1
ヤコビ行列（Jacobi matrix）とは、対称かつ実数値の三重対角行列であり、下対角成分がすべて正のものです。
上双対角行列（upper bidiagonal matrix）は、三重対角行列 (0.9.10.1) のうち、すべての \( c_1, \ldots, c_{n-1} = 0 \) を満たすものです。下双対角行列（lower bidiagonal matrix）は、その転置が上双対角行列であるものを指します。
ブロック三重対角行列（block tridiagonal）およびブロック双対角行列（block bidiagonal）は、(0.9.10.1) に相似したブロック構造を持ち、対角ブロックは正方行列であり、上下のブロックサイズはその隣接する対角ブロックのサイズに依存します。
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n(F) \) が 逆対称行列（persymmetric） であるとは、すべての \( i, j \) に対して
a_{ij} = a_{n+1-j,n+1-i}
が成立すること、すなわち主対角線に対して反転対称であることを意味します。別の等価な表現として、逆行列 \( K_n \) を用いて次が成り立つとき、\( A \) は逆対称です：
K_n A = A^T K_n
もし \( A \) が逆対称かつ正則であれば、その逆行列 \( A^{-1} \) もまた逆対称です。Toeplitz 行列は逆対称行列の一種です。
行列 \( A \in M_n(F) \) が 反逆対称（skew-persymmetric） であるとは、
K_n A = -A^T K_n
を満たすことです。正則な反逆対称行列の逆行列も反逆対称です。
複素行列 \( A \in M_n \) が エルミート逆対称（perhermitian） とは、
K_n A = A^* K_n
が成り立つときです。反エルミート逆対称（skew perhermitian）はその符号が逆になります。これらも正則であれば逆行列も同じ性質を持ちます。
\( A = [a_{ij}] \in M_n(F) \) が 中心対称（centrosymmetric）であるとは、すべての \( i, j \) に対して
a_{ij} = a_{n+1-i,n+1-j}
が成り立つことです。すなわち、行列は幾何学的中心に関して対称です。これは次のような例で視覚化されます：
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
-1 & -2 & -3 & -2 & -1 \\
9 & 8 & 7 & 6 & 0 \\
5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
\( K_n A = A K_n \) を満たすとき、\( A \) は中心対称です。符号が逆であれば 反中心対称（skew centrosymmetric）です。これらの性質は逆行列にも保存され、積に関しても保存されます。
中心対称行列 \( A \in M_n(F) \) は特別なブロック構造を持ちます。たとえば、\( n = 2m \) のとき、
A =
\begin{bmatrix}
B & K_m C K_m \\
C & K_m B K_m
\end{bmatrix},\quad B, C \in M_m(F)
また、\( n = 2m + 1 \) のときは、
A =
\begin{bmatrix}
B & K_m y & K_m C K_m \\
x^T & \alpha & x^T K_m \\
C & y & K_m B K_m
\end{bmatrix},\quad \\ B, C \in M_m(F),\ x, y \in F^m,\ \alpha \in F
複素行列 \( A \in M_n \) が エルミート中心対称（centrohermitian）であるとは、
K_n A = \overline{A} K_n
を満たすことです。符号が逆であれば反エルミート中心対称（skew centrohermitian）です。これらの性質も逆行列と積に保存されます。
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