[行列解析0.9.1]対角行列

0.9.1 対角行列

行列 \( D = [d_{ij}] \in \mathbb{M}_{n,m}(F) \) は、\( j \neq i \) のとき \( d_{ij} = 0 \) であれば対角行列と呼ばれます。対角行列の対角成分がすべて正の（非負の）実数の場合、それを正の（非負の）対角行列と呼びます。
「正の対角行列」とは、対角行列であり、かつ対角成分がすべて正であることを意味し、対角成分が正の任意の行列を指すわけではありません。単位行列 \( I \in \mathbb{M}_n \) は正の対角行列の例です。

正方対角行列 \( D \) がスカラー行列であるとは、その対角成分がすべて等しい場合を指し、すなわち \( D = \alpha I \) （ただし \( \alpha \in F \)）と書けます。
行列の左または右からスカラー行列を掛けることは、その行列に対応するスカラーを掛けることと同じ効果を持ちます。

\( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_{n,m}(F) \) とし、\( q = \min\{m,n\} \) とします。
ベクトル \( \operatorname{diag} A = [a_{11}, \ldots, a_{qq}]^T \in F^q \) は行列 \( A \) の対角成分のベクトルを表します（0.2.1参照）。
逆に、\( x \in F^q \) とし、正の整数 \( m,n \) があって \( \min\{m,n\} = q \) とすると、\( \operatorname{diag} x \in \mathbb{M}_{n,m}(F) \) は、対角成分が \( x \) であり、他の成分がゼロである \( n \times m \) の対角行列を表します。
\( \operatorname{diag} x \) が一意に定まるには、\( m \) と \( n \) の両方を指定する必要があります。
任意の \( a_1, \ldots, a_n \in F \) に対して、\( \operatorname{diag}(a_1, \ldots, a_n) \) は対角成分がそれぞれ \( a_i \) で、非対角成分がゼロの \( n \times n \) 行列 \( A = [a_{ij}] \) を表します。

行列 \( D = [d_{ij}] \), \( E = [e_{ij}] \in \mathbb{M}_n(F) \) が対角行列で、\( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n(F) \) とします。次が成り立ちます。

\( \det D = \prod_{i=1}^n d_{ii} \)
\( D \) はすべての対角成分 \( d_{ii} \neq 0 \) であるとき正則である
左から \( D \) を掛けると、行列 \( A \) の第 \( i \) 行が \( d_{ii} \) 倍される（すなわち、\( (DA)_i = d_{ii} A_i \)）
右から \( D \) を掛けると、行列 \( A \) の第 \( j \) 列が \( d_{jj} \) 倍される（すなわち、\( (AD)^j = d_{jj} A^j \)）
\( DA = AD \) となるのは、対角成分が異なる場合は \( a_{ij} = 0 \) のときに限る
すべての対角成分が異なり、かつ \( DA = AD \) のとき、\( A \) は対角行列である
任意の正整数 \( k \) に対し、\( D^k = \operatorname{diag}(d_{11}^k, \ldots, d_{nn}^k) \)
同じサイズの対角行列同士は可換である：\( DE = \operatorname{diag}(d_{11} e_{11}, \ldots, d_{nn} e_{nn}) = ED \)