0.8.8 小行列式（minor）間の関係式
行列 \( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) を与え、濃度 \( k \) の固定された添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \) を考えます。添字集合 \( \omega \subseteq \{1, \ldots, n\} \) を \( k \) 要素の順序付き集合として動かしたときの小行列式 \( \det A[\alpha, \omega] \) は、代数的に独立ではありません。なぜなら、小行列の個数のほうが、その部分行列中の独立な成分の個数より多いからです。実際、これらの小行列式の間には二次的な関係式（quadratic relations）が知られています。
ここで、添字 \( i_1, i_2, \ldots, i_k \in \{1, \ldots, n\} \) を相異なる \( k \) 個の数（必ずしも昇順である必要はない）とし、行列 \( A[\alpha; i_1, \ldots, i_k] \) を、行が \( \alpha \) により決まり、列が \( A[\alpha, \{1, \ldots, n\}] \) の中の第 \( j \) 列として \( i_j \) 列を取って構成した行列と定義します。
この記法とこれまで使ってきた記法との違いは、列の順序が自然な順（昇順）とは限らない点です。たとえば、\( A(\{1, 3\}; 4, 2) \) は、最初の列に \( A \) の \( (1, 4) \) と \( (3, 4) \) の成分を、2番目の列に \( (1, 2) \) と \( (3, 2) \) の成分を持ちます。
このとき、次のような関係式が成り立ちます。
\det A[\alpha; i_1, \ldots, i_k] \cdot \det A[\alpha; j_1, \ldots, j_k] \\=
\sum_{t=1}^{k} \det A[\alpha; i_1, \ldots, i_{s-1}, j_t, i_{s+1}, \ldots, i_k] \cdot
\det A[\alpha; j_1, \ldots, j_{t-1}, i_s, j_{t+1}, \ldots, j_k]
この恒等式は、\( s = 1, \ldots, k \) の各場合、および \( i_1, \ldots, i_k \)、\( j_1, \ldots, j_k \) がすべて異なる添字である任意の組み合わせについて成り立ちます。
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