[行列解析0.8.6]シルベスターとクロネッカーの行列式恒等式

0.8.6　シルベスターとクロネッカーの行列式恒等式

(0.8.5.4) の結果から導かれる2つの帰結を考えます。まず、次のように定義します：

B = \left( b_{ij} \right) = \left[ \det A[\{1, \ldots, k, k+i\}, \{1, \ldots, k, k+j\}] \right]_{i,j=1}^{n-k}

このとき、行列 \( B \) の各成分は、(0.8.5.10) の形をした境界付き行列（bordered matrix）の行列式となっています。ここで、\(\tilde{A}\) は \( A_{11} \)、\(x\) は \( A_{12} \) の第 \(j\) 列、\(y^T\) は \( A_{21} \) の第 \(i\) 行、\(a\) は \( A_{22} \) の \((i,j)\) 成分です。

恒等式 (0.8.5.5) より、\( B = (\det A_{11}) S \) となるので、

\det B = (\det A_{11})^{n-k} \det S = (\det A_{11})^{n-k} \left( \frac{\det A}{\det A_{11}} \right) = (\det A_{11})^{n-k - 1} \det A

この \( B \) に関する観察結果は、境界付き行列に関するシルベスターの恒等式（Sylvester's identity）として知られています：

\det B = (\det A[\alpha])^{n-k - 1} \det A

ここで、\( B = [\det A[\alpha \cup \{i\}, \alpha \cup \{j\}]] \)、ただし \( i, j \) は \( \alpha \) に含まれない添え字です。

もし \( A_{22} = 0 \) であるならば、\( B \) の各成分は \( a = 0 \) をもつ (0.8.5.10) 型の境界付き行列の行列式になります。この場合、シュア補行列 \( A / A_{11} = -A_{21} A_{11}^{-1} A_{12} \) のランクは高々 \( k \) となるので、\( B \) の任意の \((k+1)\times(k+1)\) 部分行列の行列式は 0 になります。

この \( B \) に関する事実は、境界付き行列に関するクロネッカーの定理（Kronecker’s theorem）として知られています。