[行列解析0.8.5]シューア補行列と行列式の公式

0.8.5 シューア補行列と行列式の公式
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味

0.8.5 シューア補行列と行列式の公式

\(A = [a_{ij}] \in M_n(F)\) とし、ある添字集合

\( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) に対して、部分行列 \( A[\alpha] \) が正則（可逆）であるとします。

このとき、\(A\) の 2-分割に基づく行列式の重要な公式は以下の通りです。

(0.8.5.1)

\det A = \det A[\alpha] \cdot \det(A[\alpha^c] - A[{\alpha^c,\alpha}] A[\alpha]^{-1} A[{\alpha,\alpha^c}])

これは 2×2 行列における行列式の公式の一般化です。式中の

(0.8.5.2)

A / A[\alpha] = A[\alpha^c] - A[\alpha^c,\alpha] A[\alpha]^{-1} A[\alpha,\alpha^c]

は \(A\) における \( A[\alpha] \) に対するシューア補行列（Schur complement）と呼ばれます。

この式は、(0.7.3.1) における逆行列の分割形式にも登場します。

シューア補行列は、ブロックガウス消去を用いて導かれ、以下の恒等式を用いて証明できます：

(0.8.5.3)

\begin{bmatrix} I & 0 \\ - A_{21} A_{11}^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & - A_{11}^{-1} A_{12} \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A / A_{11} \end{bmatrix}

ここで \( S = A / A_{11} \) をシューア補行列とします。

Schur補行列の性質：余因子・階数・行列式

(a) Schur 補行列 \(S\) は、行列 \(A\) の最初の \(k\) 行（列）について線形結合を取り、残りの \(n-k\) 行（列）に加えることで、左下（あるいは右上）のブロックを 0 にする際に、右下に一意的に現れるブロックである。この操作はブロック・ガウス消去と呼ばれ、\(A_{11}\) が正則であるため実行可能でありかつ一意である。

\(A_{11}\) を主座小行列として含む任意の部分行列は、(0.8.5.3) のブロック対角化を行う前後で行列式が変わらない。したがって、任意の添字集合 \(\beta=\{i_{1},\ldots,i_{m}\}\subseteq\{1,\ldots,n-k\}\) に対し、添字をシフトした集合 \(\tilde{\beta}=\{i_{1}+k,\ldots,i_{m}+k\}\) を定めると、

\(\det A[\alpha\cup\tilde{\beta},\,\alpha\cup\tilde{\gamma}]\)（ブロック消去前）\(=\det(A_{11}\oplus S[\beta,\gamma])\)（ブロック消去後）である。

したがって、

(0.8.5.4)

\det S[\beta,\gamma] = \dfrac{\det A[\alpha\cup\tilde{\beta},\,\alpha\cup\tilde{\gamma}]}{\det A[\alpha]}

例えば、\(\beta=\{i\}\)、\(\gamma=\{j\}\) とし、\(\alpha=\{1,\ldots,k\}\) とすると、

(0.8.5.5)

\det S[\beta,\gamma] = s_{ij} = \dfrac{\det A[\{1,\ldots,k,k+i\},\,\{1,\ldots,k,k+j\}]}{\det A_{11}}

したがって、\(S\) の各成分は \(A\) の小行列式（小行列の行列式）の比として書ける。

(b) \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,A_{11} + \mathrm{rank}\,S \ge \mathrm{rank}\,A_{11}\) が成り立つ。

また、\(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,A_{11}\) が成り立つための必要十分条件は、\(A_{22} = A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\) である。

(c) \(A\) が正則であるための必要十分条件は \(S\) が正則であることである。

これは \(\det A = \det A_{11}\,\det S\) が成り立つためである。

したがって \(A\) が正則ならば \(\det S = \det A / \det A_{11}\) である。

Schur補行列と逆行列・余因子・階数1摂動に関する恒等式

A が正則であると仮定する。このとき、(0.8.5.3) の両辺を逆数（逆行列）に取ることで、(0.7.3.1) とは異なる形の逆行列の表現を得る：

(0.8.5.6)

A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1} A_{12} S^{-1} A_{21} A_{11}^{-1} & - A_{11}^{-1} A_{12} S^{-1} \\ - S^{-1} A_{21} A_{11}^{-1} & S^{-1} \end{bmatrix}

ここから、部分行列 \(A^{-1}[\{k+1,\ldots,n\}]\) は \(S^{-1}\) に等しいことがわかる。したがって、

(0.8.5.7)

\det A^{-1}[\{k+1,\ldots,n\}] = \dfrac{\det A_{11}}{\det A}

これは Jacobi の恒等式 (0.8.4.1) の一形態である。逆行列を余因子行列で表す別の形を用いると、

(0.8.5.8)

\det\!\bigl( (\operatorname{adj} A)[\{k+1,\ldots,n\}] \bigr) = (\det A)^{\,n-k-1} \det A_{11}

\(\alpha^{c}\) が 1 要素のみからなるとき、\(A[\alpha]\) の Schur 補行列はスカラーとなり、(0.8.5.1) は次の恒等式に簡約される：

(0.8.5.9)

\det A = A[\alpha^{c}] \, \det A[\alpha] - A[\alpha^{c},\alpha] \, (\operatorname{adj} A[\alpha]) \, A[\alpha,\alpha^{c}]

この恒等式は \(A[\alpha]\) が特異であっても成立する。たとえば \(\alpha=\{1,\ldots,n-1\}\) とすると \(\alpha^{c}=\{n\}\) であり、行列 \(A\) は次の境界付き行列（bordered matrix）として表せる：

A = \begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{T} & a \end{bmatrix}\\ \quad \tilde{A}\in M_{n-1}(F),\; x,y\in F^{\,n-1},\; a\in F

(0.8.5.10)

\det \begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{T} & a \end{bmatrix} = a\,\det \tilde{A} - y^{T} (\operatorname{adj}\tilde{A})\, x

このとき (0.8.5.9) は境界付き行列の Cauchy 展開を与える：

Cauchy 展開 (0.8.5.10) は、\(\tilde{A}\) の余因子（符号付き小行列式、サイズ \(n-2\)）と、1 行 1 列の双線形形式を含む。一方、Laplace 展開 (0.3.1.1) は \(A\) のサイズ \(n-1\) の符号付き小行列式と線形形式を含む。

もし \(a \neq 0\) であれば、行列 \([a]\) の Schur 補行列を用いて

\det \begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{T} & a \end{bmatrix} = a \, \det(\tilde{A} - a^{-1} x y^{T})

が得られる。この等式の右辺を (0.8.5.10) の右辺と等置し、さらに \(a=-1\) を代入すると、階数1摂動の Cauchy の公式を得る：

(0.8.5.11)

\det(\tilde{A} + x y^{T}) = \det \tilde{A} + y^{T} (\operatorname{adj} \tilde{A})\, x

シューア補行列の商性質と行列式の恒等式

(a) で述べたシューア補集合の一意性は、シューア補集合をシューア補集合内に含める恒等行列を導くために用いることができる。

シューア補行列の一意性から導かれる「商性質（quotient property）」と、ブロック行列におけるいくつかの行列式恒等式について説明する。

まず、\( A_{11} \) が正則な \( k \times k \) ブロックであり、さらにこの \( A_{11} \) を 2×2 のブロックに再分割して、左上の \( \ell \times \ell \) ブロック \( \mathcal{D}_{11} \) が正則であるとする。

行列 \( A_{21} \) を \( A_{21} = [\mathcal{C}_{1}\; \mathcal{C}_{2}] \) と書き、ここで \(\mathcal{C}_{1} \) は \((n-k)\times \ell\) 行列とする。

さらに \( A_{12}^{T} = [\mathcal{B}_{1}^{T}\; \mathcal{B}_{2}^{T}] \) と分割し、\( \mathcal{B}_{1} \) は \( \ell \times (n-k) \) 行列とする。

このとき、次のように細分化されたブロック行列が得られる。

A = \begin{bmatrix} \mathcal{D}_{11} & \mathcal{D}_{12} & \mathcal{B}_{1} \\ \mathcal{D}_{21} & \mathcal{D}_{22} & \mathcal{B}_{2} \\ \mathcal{C}_{1} & \mathcal{C}_{2} & A_{22} \end{bmatrix}

ここから、まず最初の \( \ell \) 行の線形結合を次の \( k - \ell \) 行に加えることで、\( \mathcal{D}_{21} \) を \(0\) ブロックに消去する。この操作は、前述の一意性により可能である。こうして得られる行列を次のように書く。

A' = \begin{bmatrix} \mathcal{D}_{11} & \mathcal{D}_{12} & \mathcal{B}_{1} \\ 0 & A_{11}/\mathcal{D}_{11} & \mathcal{B}_{2}' \\ \mathcal{C}_{1} & \mathcal{C}_{2} & A_{22} \end{bmatrix}

ここで、中央のブロック \( A_{11}/\mathcal{D}_{11} \) は、行列 \( A_{11} \) の中でさらに \( \mathcal{D}_{11} \) を消去したときに得られるシューア補行列であり、必ず正則となる。

次に、行列 \( A' \) の最初の \( k \) 行の線形結合を最後の \( n-k \) 行に加え、ブロック \([C_{1}\; C_{2}]\) を \(0\) ブロックに消去する。こうして得られる行列を

A'' = \begin{bmatrix} \mathcal{D}_{11} & \mathcal{D}_{12} & \mathcal{B}_{1} \\ 0 & A_{11}/\mathcal{D}_{11} & \mathcal{B}_{2}' \\ 0 & 0 & A/A_{11} \end{bmatrix}

と書く。ここで右下のブロック \( A/A_{11} \) は、行列 \( A \) における \( A_{11} \) のシューア補行列となる。

また、行列 \( A/A_{11} \) の右下ブロックは、行列 \( A/A_{11} \) 内での \( A_{11}/\mathcal{D}_{11} \) のシューア補行列となる。

この観察により、シューア補行列の「商性質」が得られる：

(0.8.5.12)

A / A_{11} = (A / \mathcal{D}_{11}) \, / \,(A_{11}/\mathcal{D}_{11})

次に、(0.8.5.3) の 4 つのブロック \( A_{ij} \) がすべて同じサイズの正方ブロックであり、かつ \( A_{11} \) が \( A_{21} \) と可換である場合を考える。

このときシューア補行列 \( S = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \) を用いると、

\det A = \det A_{11} \, \det S = \det(A_{11} S)

となる。さらに、

\det (A_{11} S) = \det (A_{11}A_{22} - A_{11}A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}) = \det (A_{11}A_{22} - A_{21}A_{12})

であるから、

(0.8.5.13)

\det A = \det(A_{11}A_{22} - A_{21}A_{12})

同様に、\( A_{11} \) が \( A_{12} \) と可換である場合にも同じ結論が得られる。

また可換性を連続性の議論で拡張すれば、(0.8.5.13) は \( A_{11} \) が \( A_{21} \) または \( A_{12} \) のいずれかと可換であれば、たとえ \( A_{11} \) が特異であっても成立する。

さらに、\( A_{22} \) が \( A_{21} \) または \( A_{12} \) のいずれかと可換である場合には、\( A_{22} \) のシューア補行列を用いる同様の議論により、

(0.8.5.14)

\det A = \det(A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21})

行列解析の総本山

総本山の目次📚

[行列解析]総本山

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。

記号の意味

[行列解析9.0]主要な記号一覧

行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。