0.8.12 余因子行列と複合行列
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n(F) \) を考えます。添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、\( \beta \subseteq \{1, \ldots, n\} \) はともに濃度 \( r \leq n \) の集合とします。
\( r \) 次の余因子行列 \(\operatorname{adj}_r(A) \in \mathbb{M}_{\binom{n}{r}}(F)\) の \(\alpha, \beta\) 成分は次のように定義されます。
(\operatorname{adj}_r(A))_{\alpha, \beta} = (-1)^{p(\alpha, \beta)} \det A[\beta^c, \alpha^c]
ここで、指数は
p(\alpha, \beta) = \sum_{i \in \alpha} i + \sum_{j \in \beta} j
となります。余因子行列 \(\operatorname{adj}_r(A)\) の行と列は、\( r \) 次複合行列と同様に辞書式順序で配列されます。
例えば、(0.8.1.0) の行列 \( A \) に対して、
\operatorname{adj}_2(A) =
\begin{bmatrix}
10 & -6 & 3 \\
-8 & 5 & -2 \\
7 & -4 & 1
\end{bmatrix}
\( r \) 次余因子行列の乗法性は以下のようになります：
\operatorname{adj}_r(AB) = \operatorname{adj}_r(B) \operatorname{adj}_r(A)
また、特に
\(\operatorname{adj}_n(A) = 1\)、\(\operatorname{adj}_0(A) = \det A\)、\(\operatorname{adj}_1(A) = A\) と定義します。
\( r \) 次余因子行列と \( r \) 次複合行列は次の恒等式で関連しています：
\operatorname{adj}_r(A) C_r(A) = C_r(A) \operatorname{adj}_r(A) = (\det A) I_{\binom{n}{r}}
ここで、(0.8.9) の恒等式はこの特殊例にあたります。特に、\( A \) が正則ならば、
C_r(A)^{-1} = (\det A)^{-1} \operatorname{adj}_r(A)
行列の和の行列式は、\( r \) 次余因子行列と \( r \) 次複合行列を用いて次のように表現できます：
\det (s A + t B) = \sum_{k=0}^n s^k t^{n-k} \operatorname{tr}(\operatorname{adj}_k(A) C_k(B))
特に、
\det (A + I) = \sum_{k=0}^n \operatorname{tr} \operatorname{adj}_k(A) = \sum_{k=0}^n \operatorname{tr} C_k(B)
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