0.8.1 合成行列（Compound matrices）
行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) を考えます。集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、および \( \beta \subseteq \{1, \ldots, n\} \) は、それぞれの元の数（濃度）が \( r \leq \min\{m,n\} \) であるインデックス集合とします。
行列 \( C_r(A) \) は、各 \( (\alpha, \beta) \) 成分に対応する小行列 \( A[\alpha, \beta] \) の行列式を要素とする\(\binom{m}{r} \times \binom{n}{r}\)の行列であり、これを 第 \( r \) 合成行列（rth compound matrix）と呼びます。
\( C_r(A) \) の行と列を構成するインデックス集合は、辞書式順序（例：{1,2,4} の次に {1,2,5}、さらに {1,3,4}）に並べます。
たとえば、
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 10
\end{bmatrix}
とすると、
\begin{align}
C_2(A) \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
\det\begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 5\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}1 & 3\\4 & 6\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}2 & 3\\5 & 6\end{bmatrix} \\
\det\begin{bmatrix}1 & 2\\7 & 8\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}1 & 3\\7 & 10\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}2 & 3\\8 & 10\end{bmatrix} \\
\det\begin{bmatrix}4 & 5\\7 & 8\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}4 & 6\\7 & 10\end{bmatrix} &
\det\begin{bmatrix}5 & 6\\8 & 10\end{bmatrix}
\end{bmatrix} \notag
\\
&=
\begin{bmatrix}
-3 & -6 & -3 \\
-6 & -11 & -4 \\
-3 & -2 & 2
\end{bmatrix} \notag
\end{align}
\( A \in M_{m,k}(F) \), \( B \in M_{k,n}(F) \), および \( r \leq \min\{m,k,n\} \) のとき、コーシー・ビネの公式（式 (0.8.7)）より、
C_r(AB) = C_r(A)C_r(B)
これは合成行列における乗法性の性質を表します。
以下のような性質も成り立ちます：
- \( C_0(A) = 1 \)
- \( C_1(A) = A \)
- \( A \in M_n(F) \) のとき、\( C_n(A) = \det A \)
- \( A \in M_{m,k}(F) \), \( t \in F \) のとき、\( C_r(tA) = t^r C_r(A) \)
- \( 1 \leq r \leq n \) のとき、\( C_r(I_n) = I_{\binom{n}{r}} \in M_{\binom{n}{r}} \)
- \( A \in M_n(F) \) が正則ならば、\( C_r(A^{-1}) = C_r(A)^{-1} \)
- \( A \in M_n(F) \) のとき、\( \det C_r(A) = (\det A)^{\binom{n-1}{r-1}} \)
- \( A \in M_{m,n}(F) \), \( r = \text{rank}(A) \) のとき、\( \text{rank}(C_r(A)) = 1 \)
- \( A \in M_{m,n}(F) \) のとき、\( C_r(A^T) = C_r(A)^T \)
- \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) のとき、\( C_r(A^*) = C_r(A)^* \)
上三角（または下三角）行列 \( D = [d_{ij}] \in M_n(F) \) の場合（詳細は式 (0.9.3) を参照）、\( C_r(D) \) も同様に上三角（または下三角）行列となります。
その主対角成分は、辞書式順に並べられた \( d_{11}, \ldots, d_{nn} \) の中から \( r \) 個を選んでかけ合わせた\(\binom{n}{r}\)通りの積になります。
したがって、対角行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n) \in M_n(F) \) に対しても、\( C_r(D) \) は対角行列であり、その主対角成分は、
d_{i_1} \cdots d_{i_r} \quad \text{ただし } 1 \leq i_1 < \cdots < i_r \leq n
という形の \( \binom{n}{r} \) 個のスカラーになります（これらも辞書式順に並べられます）。
合成行列の詳細については、(Fiedler, 1986) の第6章を参照してください。
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