[行列解析0.7.6]分割行列の階数とランク主小行列

0.7.6 分割行列の階数とランク主小行列

行列 \( A \in M_n(F) \) を次のように分割します：

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad A_{11} \in M_r(F),\ A_{22} \in M_{n-r}(F)

もし \( A_{11} \) が正則であれば、当然ながら \( \text{rank}[ A_{11}\ A_{12} ] = r \) および \( \text{rank} \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix} = r \) です。驚くべきことに、逆もまた成り立ちます：

\text{もし } \text{rank}(A) = \text{rank}[ A_{11}\ A_{12} ] = \text{rank}\begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix}, \text{ ならば } A_{11} \text{ は正則である。}

これは (0.4.6(c)) から従います。もし \( A_{11} \) が特異であるとすると、\( \text{rank}(A_{11}) = k < r \) であり、正則な行列 \( S, T \in M_r(F) \) が存在して：

SA_{11}T = \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0_{r-k} \end{bmatrix}

このとき、

\hat{A} = \begin{bmatrix} S & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} T & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0_{r-k} \end{bmatrix} & SA_{12} \\ A_{21}T & A_{22} \end{bmatrix}

とすると、\( \hat{A} \) の階数は \( r \) ですが、最初のブロック列の最下行がゼロであるため、\( SA_{12} \) のある列に第 r 成分が 0 でないものが存在します。よって独立な列が r+1 本あることになり、これは階数 r に矛盾します。したがって、\( A_{11} \) は正則です。

次に、\( A \in M_{m,n}(F) \) かつ \( \text{rank}(A) = r > 0 \) と仮定します。\( A = XY^T \) という full-rank 分解が存在し、\( X, Y \in M_{m,r}(F) \) とします。インデックス集合 \( \alpha, \beta \subset \{1, \dots, m\} \)、\( \gamma, \delta \subset \{1, \dots, n\} \) でその濃度が r のとき、

A[\alpha, \gamma] = X[\alpha, :] Y[\gamma, :]^T \in M_r(F)

であり、もし部分行列の階数が r であればこれは正則です。そして次の恒等式が成り立ちます：

\det A[\alpha, \gamma] \cdot \det A[\beta, \delta] = \det A[\alpha, \delta] \cdot \det A[\beta, \gamma]

\( A \in M_n(F) \) かつ \( \text{rank}(A) = r \) のとき、もし A が r 次の正則な主小行列を持つならば、A を「ランク主」(rank principal) という。(0.7.6.1) より、あるインデックス集合 \( \alpha \subset \{1,\dots,n\} \) が存在して：