0.7.5 相補零空間次元（complementary nullities）
\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、
\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、
\(|\alpha| = r\)、\(|\beta| = s\) とします。
このとき、相補零空間次元の法則は次のとおりです：
\text{nullity}(A[\alpha, \beta]) = \text{nullity}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c])\\
これは次の階数の恒等式と同値です：
\begin{align}
& \text{rank}(A[\alpha, \beta]) \notag \\
&= \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n \notag \\
\end{align}\\
行と列を並び替えることで、\(A\) および \(A^{-1}\) を次のようにブロック形式で考えることができます(下記の解説参照)：
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
このとき、(0.7.5.1) は次を意味します：
\text{nullity}(A_{11}) = \text{nullity}(B_{22})
この原理の要点は、\(A\) が可逆である限り、\(A_{11}\) の零空間の次元が \(A^{-1}\)の\(B_{22}\) に反映されることです。
同様に、
\(\text{nullity}(A_{12}) = \text{nullity}(B_{12})\)、
\(\text{nullity}(A_{21}) = \text{nullity}(B_{21})\)、
\(\text{nullity}(A_{22}) = \text{nullity}(B_{11})\) なども成り立ちます。
\(r + s = n\) のときは、
\(\text{rank}(A_{11}) = \text{rank}(B_{22})\)、
\(\text{rank}(A_{22}) = \text{rank}(B_{11})\) が成立します。
また、\(n = 2r = 2s\) のとき、
\(\text{rank}(A_{12}) = \text{rank}(B_{12})\)、
\(\text{rank}(A_{21}) = \text{rank}(B_{21})\) も成立します。
最後に、(0.7.5.2) より、\(n \times n\) 可逆行列の \(r \times s\) 部分行列の階数は少なくとも \(r + s - n\) であることがわかります。
\begin{align}
& \text{rank}(A[\alpha, \beta]) \notag \\
&= \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n \notag \\
\end{align}\\
補足
この結果はシンプルで驚くべきものですが、記号が煩雑で慣れていないとわかりにくいです。
行列の分解は、下記のような対応でみています。
A = \begin{bmatrix} A[\alpha, \beta] & A[\alpha, \beta^c] \\
A[\alpha^c, \beta] &A[\alpha^c, \beta^c] \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}\\
\;\\
A^{-1} = \begin{bmatrix} B[\beta,\alpha] & B[\beta,\alpha^c] \\
B[\beta^c,\alpha] & B[\beta^c,\alpha^c] \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}
AA^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\
A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} &A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}I&0\\
0 & I
\end{bmatrix}
AA^{-1} = \begin{bmatrix} A[\alpha, \beta] & A[\alpha, \beta^c] \\
A[\alpha^c, \beta] &A[\alpha^c, \beta^c] \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} B[\beta,\alpha] & B[\beta,\alpha^c] \\
B[\beta^c,\alpha] & B[\beta^c,\alpha^c] \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} I[\alpha,\alpha] & 0[\alpha,\alpha^c] \\
0[\alpha^c,\alpha] & I[\alpha^c,\alpha^c] \end{bmatrix} \\
\; \\
A^{-1}A =
\begin{bmatrix} B[\beta,\alpha] & B[\beta,\alpha^c] \\
B[\beta^c,\alpha] & B[\beta^c,\alpha^c] \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A[\alpha, \beta] & A[\alpha, \beta^c] \\
A[\alpha^c, \beta] &A[\alpha^c, \beta^c] \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} I[\beta] & 0[\beta,\beta^c] \\
0[\beta^c,\beta] & I[\beta^c] \end{bmatrix}\begin{align}
A[\alpha, \beta]B[\beta,\alpha]+A[\alpha, \beta^c]B[\beta^c,\alpha]
& =I[\alpha] \notag\\
A[\alpha, \beta]B[\beta,\alpha^c]+A[\alpha, \beta^c]B[\beta^c,\alpha^c]
& =0[\alpha,\alpha^c] \notag \\
A[\alpha^c, \beta]B[\beta,\alpha]+A[\alpha^c, \beta^c]B[\beta^c,\alpha]
& =0[\alpha^c,\alpha] \notag \\
A[\alpha^c, \beta]B[\beta,\alpha^c]+A[\alpha^c, \beta^c]B[\beta^c,\alpha^c]
&=I[\alpha^c] \notag
\end{align}特に\(\alpha=\beta\)のとき
AA^{-1} = \begin{bmatrix} A[\alpha, \alpha] & A[\alpha, \alpha^c] \\
A[\alpha^c, \alpha] &A[\alpha^c, \alpha^c] \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} B[\alpha,\alpha] & B[\alpha,\alpha^c] \\
B[\alpha^c,\alpha] & B[\alpha^c,\alpha^c] \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} I[\alpha,\alpha] & 0[\alpha,\alpha^c] \\
0[\alpha^c,\alpha] & I[\alpha^c,\alpha^c] \end{bmatrix} \\
\; \\
A^{-1}A =
\begin{bmatrix} B[\alpha] & B[\alpha,\alpha^c] \\
B[\alpha^c,\alpha] & B[\alpha^c] \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A[\alpha] & A[\alpha, \alpha^c] \\
A[\alpha^c, \alpha] &A[\alpha^c] \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} I[\alpha] & 0[\alpha,\alpha^c] \\
0[\alpha^c,\alpha] & I[\alpha^c] \end{bmatrix}\begin{aligned}
A[\alpha]B[\alpha]+A[\alpha, \alpha^c]B[\alpha^c,\alpha]
& =I[\alpha]\\
A[\alpha]B[\alpha,\alpha^c]+A[\alpha, \alpha^c]B[\alpha^c]
& =0[\alpha,\alpha^c]\\
A[\alpha^c, \alpha]B[\alpha]+A[\alpha^c]B[\alpha^c,\alpha]
& =0[\alpha^c,\alpha]\\
A[\alpha^c, \alpha]B[\alpha,\alpha^c]+A[\alpha^c]B[\alpha^c]
& =I[\alpha^c]
\end{aligned}さらに詳細は、wikipediaのページを参照。
そこで紹介されているリファレンスが参考になる。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
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