[行列解析0.7.5]相補零空間次元

0.7.5 相補零空間次元（complementary nullities）

\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、\(|\alpha| = r\)、\(|\beta| = s\) とします。このとき、相補零空間次元の法則は次のとおりです：

\text{nullity}(A[\alpha, \beta]) = \text{nullity}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c])\\ \tag{0.7.5.1}

これは次の階数の恒等式と同値です：

\begin{align} & \text{rank}(A[\alpha, \beta]) \\ &= \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n\\ \end{align}\\ \tag{0.7.5.2}

行と列を並び替えることで、\(A\) および \(A^{-1}\) を次のようにブロック形式で考えることができます：

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}

このとき、(0.7.5.1) は次を意味します：

\text{nullity}(A_{11}) = \text{nullity}(B_{22})

この原理の要点は、A が可逆である限り、\(A_{11}\) の零空間の次元が \(B_{22}\) に反映されることです。同様に、\(\text{nullity}(A_{12}) = \text{nullity}(B_{12})\)、\(\text{nullity}(A_{21}) = \text{nullity}(B_{21})\)、\(\text{nullity}(A_{22}) = \text{nullity}(B_{11})\) なども成り立ちます。\(r + s = n\) のときは、\(\text{rank}(A_{11}) = \text{rank}(B_{22})\)、\(\text{rank}(A_{22}) = \text{rank}(B_{11})\) が成立します。また、\(n = 2r = 2s\) のとき、\(\text{rank}(A_{12}) = \text{rank}(B_{12})\)、\(\text{rank}(A_{21}) = \text{rank}(B_{21})\) も成立します。

最後に、(0.7.5.2) より、\(n \times n\) 可逆行列の \(r \times s\) 部分行列の階数は少なくとも \(r + s - n\) であることがわかります。