0.7.1 部分行列
\( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) とし、インデックス集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、\( \beta \subseteq \{1, \ldots, n\} \) に対して、行列 \( A \) のうち、行が \( \alpha \)、列が \( \beta \) に対応する部分を \( A[\alpha, \beta] \) と表します。
例：
\begin{align}
& \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}[\{1, 3\}, \{1, 2, 3\}] \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \notag
\end{align}
特に \( \alpha = \beta \) のとき、部分行列 \( A[\alpha] = A[\alpha, \alpha] \) を主部分行列（principal submatrix）と呼びます。\( n \times n \) 行列には、サイズ \( k \) の異なる主部分行列が次の数だけ存在します：
\binom{n}{k}
\( A \in \mathbb{M}_n(F) \)、\( k \in \{1, \ldots, n\} \) のとき、
- \( A[\{1, \ldots, k\}] \)：先頭主部分行列（leading principal submatrix）
- \( A[\{k, \ldots, n\}] \)：末尾主部分行列（trailing principal submatrix）
部分行列や主部分行列は、行や列を「含める」方法ではなく、「除く」方法でも指定できます。その場合、補集合を用います。すなわち、
\alpha^c = \{1, \ldots, m\} \setminus \alpha,\quad
\beta^c = \{1, \ldots, n\} \setminus \beta
このとき、\( A[\alpha^c, \beta^c] \) は、\( \alpha \) に含まれる行と \( \beta \) に含まれる列を削除した部分行列です。
\( A[\alpha, \emptyset^c] \) は \( \alpha \) に対応する行を含み、
\( A[\emptyset^c, \beta] \) は \( \beta \) に対応する列を含みます。
\( r \times r \) の部分行列の行列式を小行列式（minor）と呼び、そのサイズを示すときは「サイズ \( r \) の小行列式」と言います。
主部分行列の行列式は主小行列式（principal minor）、
先頭主部分行列の行列式は先頭主小行列式（leading principal minor）、
末尾主部分行列の行列式は末尾主小行列式（trailing principal minor）です。
慣例として、空の主小行列式の値は 1 とされます：
\det A[\emptyset] = 1
符号付き小行列式（たとえばラプラス展開における \(( -1 )^{i+j} \det A_{ij}\) など）は余因子（cofactor）と呼ばれ、サイズを指定すると「サイズ \( r \) の余因子」となります。
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