0.6.6 直交補空間
任意の集合 \( S \subset \mathbb{C}^n \) に対して、その直交補空間は
S^\perp = \{ x \in \mathbb{C}^n : x^* y = 0 \text{ for all } y \in S \}
と定義されます。\( S \) が部分空間でなくても、\( S^\perp \) は常に部分空間です。
以下の性質が成り立ちます：
- \( (S^\perp)^\perp = \mathrm{span}\,S \)
- \( (S^\perp)^\perp = S \)（ただし \( S \) が部分空間の場合）
- \( \dim S^\perp + \dim (S^\perp)^\perp = n \)
- 部分空間 \( S_1, S_2 \) に対して：
(S_1 + S_2)^\perp = S_1^\perp \cap S_2^\perp
行列 \( A \in \mathbb{C}^{m \times n} \) に対して、\( \mathrm{range}\,A \) は \( \mathrm{null}\,A^* \) の直交補です。したがって、任意の \( b \in \mathbb{C}^m \) に対して、連立方程式 \( Ax = b \) が解を持つのは、
b^* z = 0 \quad \text{for all } z \text{ such that } A^* z = 0
を満たすときです。これは「フレドホルムの代替定理（alternative theorem）」としても知られます。
つまり、次の2つのいずれか一方のみが真です：
1. \( Ax = b \) が解を持つ。
2. \( A^* y = 0 \) を満たし、かつ \( y^* b \neq 0 \) となる \( y \) が存在する。
さらに、\( A \in \mathbb{C}^{m \times n}, B \in \mathbb{C}^{m \times q} \)、\( X \in \mathbb{C}^{m \times r}, Y \in \mathbb{C}^{m \times s} \) において、
- \( \mathrm{range}\,X = \mathrm{null}\,A^* \)
- \( \mathrm{range}\,Y = \mathrm{null}\,B^* \)
ならば、次が成り立ちます：
\mathrm{range}\,A \cap \mathrm{range}\,B = \mathrm{null}
\begin{pmatrix}
X^* \\
Y^*
\end{pmatrix}
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