[行列解析0.5]非特異性

0.5 非特異性（Nonsingularity）

線形変換または行列が、入力が 0 のときにのみ出力が 0 となる場合、それは 非特異 (nonsingular) であるといいます。それ以外の場合は 特異 (singular) です。

もし \( A \in M_{m,n}(F) \) で \( m < n \) ならば、A は必ず特異です。

\( A \in M_n(F) \) が可逆（invertible）であるとは、ある行列 \( A^{-1} \in M_n(F) \)（A の逆行列）が存在して、

A^{-1} A = I

が成り立つことを言います。

また、もし \( A^{-1} A = I \) ならば、

A A^{-1} = I

も成り立ちます。すなわち、逆行列は左逆元であると同時に右逆元でもあります。逆行列が存在する場合、それは一意的です。

正方行列 \( A \in M_n(F) \) が非特異であるための条件は多数あり、次の条件はすべて同値です：

(a) A は非特異である。
(b) \( A^{-1} \) が存在する。
(c) \( \operatorname{rank}(A) = n \)
(d) A の行ベクトルは一次独立である。
(e) A の列ベクトルは一次独立である。
(f) \( \det A \ne 0 \)
(g) A の像（range）の次元が n である。
(h) A の核（null space）の次元が 0 である。
(i) 任意の \( b \in F^n \) に対して \( Ax = b \) は可解である。
(j) \( Ax = b \) が可解なとき、その解は一意である。
(k) 任意の \( b \in F^n \) に対して \( Ax = b \) は一意な解をもつ。
(l) \( Ax = 0 \) の唯一の解は \( x = 0 \) である。
(m) A の固有値に 0 が含まれない（第1章を参照）。

条件 (g) と (h) は、有限次元ベクトル空間 \( V \) 上の線形変換 \( T : V \to V \) に対しても同値です。すなわち、任意の \( y \in V \) に対して \( Tx = y \) が解をもつ ⇔ 唯一の \( x \) に対して \( Tx = 0 \) が成り立つ ⇔ \( Tx = y \) は一意な解をもつ、ということです。

非特異な行列は、一般線形群（general linear group） と呼ばれる群を成し、通常は \( \mathrm{GL}(n, F) \) と表記されます。

もし \( A \in M_n(F) \) が非特異ならば、以下が成り立ちます：