0.4.5 ランクの不等式
ランクに関する基本的な不等式には、以下のようなものがあります：
(a)
もし \( A \in M_{m,n}(F) \) であれば、
\operatorname{rank} A \leq \min\{m, n\}
(b)
行列から1つ以上の行または列を削除した場合、得られる部分行列のランクは元の行列のランクを超えることはありません。
(c) シルベスターの不等式（Sylvester Inequality）
もし \( A \in M_{m,k}(F) \), \( B \in M_{k,n}(F) \) ならば、
(\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B) - k \\
\leq \operatorname{rank}(AB) \\
\leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\}
(d) ランク和の不等式（Rank-Sum Inequality）
もし \( A, B \in M_{m,n}(F) \) であれば、
|\operatorname{rank} A - \operatorname{rank} B| \\
\leq \operatorname{rank}(A + B) \\
\leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B
この不等式の右辺が等号になるのは、次の条件が満たされるとき、すなわち
\operatorname{range}(A) \cap \operatorname{range}(B) = \{0\}, \\
\operatorname{range}(A^T) \cap \operatorname{range}(B^T) = \{0\}
であるときに限ります。
また、もし \( \operatorname{rank} B = 1 \) であれば、
|\operatorname{rank}(A + B) - \operatorname{rank} A| \leq 1
特に、行列の1つの成分を変更しても、ランクの変化は最大で1であることがわかります。
(e) フロベニウスの不等式（Frobenius Inequality）
もし \( A \in M_{m,k}(F) \), \( B \in M_{k,p}(F) \), \( C \in M_{p,n}(F) \) であれば、
\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \\
\leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
この不等式が等号となるのは、ある行列 \( X \), \( Y \) が存在して、
B = BCX + YAB
を満たすときに限られます。
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