[行列解析0.4.4]ランクの特徴づけ

0.4.4 ランクの特徴づけ

行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) に関して、以下の記述は同値であり、状況に応じて使い分けられます。特に (b) と (c) は列または行の線形独立性に関わる重要なポイントです。

ランク \( \operatorname{rank} A = k \)。
\( A \) の行の中で線形独立なものは最大で \( k \) 行である。
\( A \) の列の中で線形独立なものは最大で \( k \) 列である。
\( A \) のある \( k \times k \) 部分行列の行列式はゼロでないが、すべての \( (k+1) \times (k+1) \) 部分行列の行列式はゼロである。
\( \dim (\operatorname{range} A) = k \)。
線形系 \( Ax = b_j \) が解を持つような線形独立なベクトル \( b_1, \dots, b_k \) が \( k \) 個存在し、それ以上は存在しない。
ランク・ヌルリティの定理より、\( k = n - \dim(\operatorname{nullspace} A) \)。
ある \( X \in M_{m,p}(F) \), \( Y \in M_{n,p}(F) \) が存在して、\( A = XY^T \) と表せる最小の \( p \) が \( k \) である。
ある \( x_1, \dots, x_p \in F^m \), \( y_1, \dots, y_p \in F^n \) が存在して、