0.2.7 行列の列空間と行空間
行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) の像（range）は、その列空間（column space）とも呼ばれます。なぜなら、任意の \( x \in F^n \) に対して \( Ax \) は \( A \) の列ベクトルの線形結合で表せるからです。すなわち、range \( A \) は \( A \) の列ベクトルたちの張る空間（span）です。
同様に、\( \{ y^T A : y \in F^m \} \) は \( A \) の行空間（row space）と呼ばれます。
行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) の列空間が、行列 \( B \in M_{m,k}(F) \) の列空間に含まれるとき、ある行列 \( X \in M_{k,n}(F) \) が存在して
A = BX
と書くことができます（逆もまた同様です）。このとき、行列 \( X \) の第 \( j \) 列の成分は、行列 \( A \) の第 \( j \) 列を \( B \) の列ベクトルの線形結合として表す係数を意味します。
行列 \( A \in M_{m,n}(F) \)、\( B \in M_{m,q}(F) \) に対して、次が成り立ちます：
\operatorname{range}(A) + \operatorname{range}(B) = \operatorname{range}([A \; B])
\tag{0.2.7.1}
また、\( A \in M_{m,n}(F) \)、\( B \in M_{p,n}(F) \) のとき、次の式が成り立ちます：
\operatorname{null}(A) \cap \operatorname{null}(B) = \operatorname{null}
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix}
\tag{0.2.7.2}
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
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