0.2.6 行列積のメタ力学的見方（Metamechanics）
行列とベクトルの積、および行列どうしの積には通常の定義のほかにも、いくつかの有用な視点があります。
- 行列 \( A \in M_{m,n}(F) \)、列ベクトル \( x \in F^n \)、および \( y \in F^m \) に対して、\( Ax \) は \( A \) の列ベクトルの線形結合になります。このとき、結合係数はベクトル \( x \) の成分です。同様に、行ベクトル \( y^T A \) は \( A \) の行ベクトルの線形結合であり、その係数は \( y \) の成分です。
- \( b_j \) を \( B \) の第 \( j \) 列、\( a_i^T \) を \( A \) の第 \( i \) 行としたとき、積 \( AB \) の第 \( j \) 列は \( Ab_j \)、第 \( i \) 行は \( a_i^T B \) になります。
言い換えれば、行列積 \( AB \) において、左側からの積（\( A \)）は右側行列 \( B \) の各列に作用し、右側からの積（\( B \)）は左側行列 \( A \) の各行に作用することになります。この観点における特別なケースとして、片方が対角行列である場合については (0.9.1) を参照してください。
行列 \( A \in M_{m,p}(F) \)、\( B \in M_{n,q}(F) \) とし、\( a_k \) を \( A \) の第 \( k \) 列、\( b_k \) を \( B \) の第 \( k \) 列とします。
- \( m = n \) のとき、\( A^T B = [a_i^T b_j] \)：すなわち、\( A^T B \) の \( i, j \) 成分はスカラー \( a_i^T b_j \) になります。
- \( p = q \) のとき、次のように書けます：
AB^T = \sum_{k=1}^{n} a_k b_k^T
ここで、各項はベクトル \( a_k \) と \( b_k \) の外積であり、サイズ \( m \times n \) の行列になります。
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