0.2.1 長方形行列
行列とは、体 \( \mathbb{F} \) 上のスカラーによる m 行 n 列 の配列です。特に \( m = n \) の場合、その行列は正方行列と呼ばれます。体 \( \mathbb{F} \) 上の全ての m 行 n 列行列の集合は \( M_{m,n}(\mathbb{F}) \) と表され、特に正方行列の場合 \( M_{n,n}(\mathbb{F}) \) はしばしば \( M_n(\mathbb{F}) \) と書かれます。
ベクトル空間 \( M_{n,1}(\mathbb{F}) \) と \( \mathbb{F}^n \) は同一です。体が複素数体 \( \mathbb{C} \) のとき、\( M_n(\mathbb{C}) \) は \( M_n \)、\( M_{m,n}(\mathbb{C}) \) は \( M_{m,n} \) と略記されることもあります。
行列は通常大文字で表記され、その成分（スカラー）は添字付きの小文字で表します。たとえば、次のように行列 \( A \) を定義すると：
A = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\ -1 & \pi & 4 \end{bmatrix} = [a_{ij}]
このとき \( A \in M_{2,3}(\mathbb{R}) \) であり、成分は \( a_{11} = 2, a_{12} = -3/2, a_{13} = 0, a_{21} = -1, a_{22} = \pi, a_{23} = 4 \) です。
ある行列の部分行列とは、その行列の指定された行・列の部分集合からなる長方形配列です。たとえば、行列 \( A \) の第2行・第2列と第3列に属する部分行列：
[\pi \quad 4]
は、\( A \) の部分行列です。
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{n,m}(\mathbb{F}) \) において、主対角線は次の成分の列です：
a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{qq},\quad q = \min\{n, m\}
この主対角線をベクトルとして表すと：
\operatorname{diag} A = [a_{ii}]_{i=1}^{q} \in \mathbb{F}^q
第 p 上対角線は次の成分列：
a_{1,p+1}, a_{2,p+2}, \ldots, a_{k,p+k},\quad k = \min\{n, m - p\}
第 p 下対角線は：
a_{p+1,1}, a_{p+2,2}, \ldots, a_{p+r,r},\quad r = \min\{n - p, m\}
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